ド・モアブルの定理の数学的帰納法用いた証明って(確か)慶應かどっか出していませんでしたっけ？わかる方いたらその問題の年度と大学と学部教えて欲しいです

なぜaは0ではないのですか？

15 2 a = COS π十isin 2 5 とする。 n ano (1) a, 1+α+α²+α+α, 1 + α+α+α + (α) の値を求めよ。 2 (2) cos πの値を求めよ。 5 nia (1)1+α+a°+°+α*因数分解-1=(x-1)(x+x+x+x+1)を利用。 前の結果の利用 α と a の関係 aa = |α| を利用 1+α+α+α+ (α) をつくる。 Action» α-1+α 2+ … +α+1は, α"-1の因数分解を利用せよ 2 172 (2) cos = (αの実部) α, a の式でcos =πを表すと? "5" Action» αの実部は,1/12(α+α)を考えよ 思考プロセス 118 絶対かしである複 5 2 2/ (1) a³ = (cos + isin 7) = COS2π+isin2=1 ド・モアブルの定理 9 複素数平面 これよりα -1 = 0 5 よって(α-1) (a + α° + α² + α + 1) = 0 α ≠1 であるから0 1+α+α + α + α = 0201 Ania |a|=1より|a|2 =1であるから 一般に x-1 =(x-1)(xn-1+x-2 a a = 1 +…+1) |a|=| cos nising TE 1 よって, α = - であるから ina) 1 (1+a+a²+a+(a)² = 1+a+a² + + a a² = 2000 1 +α+α+α+α4 = a² = 1 0 1+a+a²+a³+a = 0 を代入する。

この問題根本的に何をしていいかわかりません、、、 教えてください

1の乗根 2 2 π 5 69 a=cosisin のとき,次の式の値を求めよ。 (1) α+α+α² +α+1 1 (2) + 1-α4 1-a 2274 (3) a a² a³ aª 4 ポイント④ 一般に, nが自然数のとき ✓ 266 *(1 *1

赤線部はどういう意味でしょうか🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏🏻

420 第10章 複素数平面 練習問題 6 が実数となるような最小の自然数nの値を求めよ. Jmies+ 精講 極形式で表してから, 累乗計算をしてみましょう. ドモアブルの 定理は、nが負のときでも使えます. 複素数が実数であるかどうか は、 「偏角」に注目すればわかります。 √√3-i √3 1 2 2 2 =cos- 3-i 2 +isin 解答 y1 0 12 2 <<-n +isin =cos{-mx-m)}+isin-x(-) cosm+isin nл ・① 6 T 6 2 |3| ド・モアブル この定理 n=1,2,3,4, TC において, ①の絶対値は1,偏角は 2π 3π 4π 6'6'6'6' n=3 4 n=2 n=5 n=1 となるので, 複素数の列 を n=6 図示すると、右のようになる. -1 0 I この図より、はじめて実数が現れるのは, 実数 n=6 のときである. (実数は実軸(z軸) 上の点 複素数の列は平面上の コメント 「点」 の列となる 一般に, 複素数が実数となるのは (偏角) =π× (整数) 0. 土π, 土2π... のときです. この問題においては nπ 6 =mπn=6m (mは整数) ですからんが6の倍数のときに, ①は実数となります。 これを満たす最小の 自然数は, n=6です.

複素数 (2)について、この解き方のどこに間違いがあるのかを教えてください。

必解 174. 〈複素数を含む式の値〉 複素数 α,ß が |a|=1,\B|=√2, \α-Bl=1 を満たしの虚部は正であるとする。 B 祝および(C)M を求めよ。 8 a a (2) lu+ B を求めよ。 β (3) nが8で割ると1余る整数のとき, |α"+β"| を n を用いて表せ。 [17 佐賀大・理工]

⑶着眼点からわかりません😭

シ G 【4】 b を正の数とし、xの2次方程式 x-bx + 1 = 0 が虚数解 αをもつとする. 次 の問いに答えよ. (1)のとり得る値の範囲を求めよ. (2) od, a をそれぞれ Aα + B (A,Bはもの多項式) の形で表せ. (3) 次の条件(I), (I)をともに満たす 3次方程式が存在するようなもの値をすべて求め (I) 係数はすべて実数である. (Ⅱ) α2 と α3 の両方を解にもつ. (40点)

次の問題の青線の移行がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

2 2 5' a = cosπ+isin πとする。 5 (1)a,1+α+α + α+α, 1 + α+ a + α+ (α) の値を求めよ。 (2) 2 COS mの値を求めよ。 (1)αド・モアブルの定理を用いる。 1+α+α+α+α4 因数分解 x1=(x-1)(x²+x+x+x+1) を利用。 前問の結果の利用 α との関係 aa = |α| を利用 →1+α+α+α+ (α) をつくる。 Action》 α"-1+α"-2+... +α+1は, α-1の因数分解を利用せよ (2) cos 2 を表すと? 8/2/2=(αの実部) a, a の式で cos” Action》の実部は,1/12 (α+α)を考えよ 思考プロセス 5 (1)=(cos/2/2 2 COS π+isin π = cos2π+isin 2 = 1 ド・モアブルの定理 5 5 これより a5-1 = 0 よって (a-1) (a^+α+α+α+1)= 0 一般に α キ1 であるから 1+a+a+a + α = 0 x-1 =(x-1)(xn-1+xn-2 1 |α| =1 すなわち αα = a +... +1) 2 ||a|= = COS +isin 5 25 5 T =1 1より, α = であるから 1+a+a² + a + ( a )² = 1 + a + a² + 2 1 a + 1 a² 1+α+α°+α+α4 = = 0 2 a² である (2) x = 0}{ x < è, com | x = = (a + 0) (3 3 cos- 2 とおくと, 5 から a + α = 2x ... ① 2 また a² + ( a )² = (a + a )² - 2a α = 4x²-2 (1) より, 1+(a + α)+{a°+(α)2}= 0 であるから, ①,② を代入すると 2 1+a+a+a³ + a² = 0 を代入する。 -1±√5 a a = a² =1 x= 0 1+√5 TT = 4 4x2+2x-1= 0 cos x = COS > 0 であるから 2 25 0<cos 4 π < 2 607 より 1

次の問題の青線のところで何故nを3kと考えるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

(1) 複素数zz+ 1 2 1 = √3 を満たすとき,230 + の値を求めよ。 30 2° = {cs(土)+isin(1/2)}+{cos(土/1/1) +isin (土/03)} 3 = cos(± 2) + isin(± 2x) + cos(+ 2 =) + sin(2x) 2n 3 1 (2) 複素数zz+ Z 1 = -1 を満たすとき, w=z"+ の値を求め z" 2n 2n = COS -π±isin よ。 ただし, n は整数とする。 (1) 230 + (1)21-2+1)- 130 = z+ と考えるのは大変。 《ReAction 複素数の乗は、 極形式で表してド・モアブルの定理を用いよ 具体的に考える 例題55) 2+1/2=15より2-32+1=0 ⇒ 極形式 2= 3 2n 3 = 2 cos π (複号同順) (ア) n=3k (kは整数) のとき w=2cos(2kz) =2 (イ) n=3k+1 (kは整数) のとき w=2cos2kz+ 31/37) = = 2 cos (ウ) n =3k+2 (kは整数) のとき 3 2n 2n +cost π干isin -π 3 3 23 =-1 思考プロセス 1 解 (1) + 2 よって 2 = = √3 より z-√3z+1=0 √3+√√(3) -4・1・1 /3 1 2 土 i 2 2 = cos(土)+isin(±)(複号同順) このとき, ドモアブルの定理により w=2cos2kz+ 4 1=2c08131 πC = -1 (ア)~(ウ)より, んを整数とすると [2 (n=3k のとき) (n=3k+1,3k+2 のとき) w= l-1 1 1 Z z" 複素数z が z+ = k ... ① (kは実数) を満たすとする。 Point z+ =kのときの " + の値 2.30 = {cos(土)+isin(土)} = cos (±5π) +isin (±5π) (複号同順) =-1 = ゆえに2/21 230 したがって 230 + 1 = 30 1-1=-2 1 2 よって (2) 2+ =-1 より -1±√3i z+z+1=0 2 = 2 土 = =cos (12/31) +isin (+12/28) (復号同順) このとき, ドモアブルの定理により w = 2" + 1 =z"+z 2 ① より z-kz+1=0 この2解は互いに共役な複素数 z, zであるから, 解と係数の関係よ よって |zl=1 すなわち |z=1 ゆえに, z=cosl+isin) とおくと z"=cosno+isinn0 したがって 1 2"+ =2"+(2")-1 2" = = (cosno+isinn0)+(cosn0+isinn0) (cosn0+isinn0)+(cosn0-isinn0) =2cosn0 2次方程式の解の公式を 用いてzの値を求める。 このことから,z" + 1 2" はnの値に関わらず実数となることも分かる YA J3 2 1 2 練習 57 (1) 複素数zが z+ = 1 2 を満たすとき, ' + 2 2 1 (2)複素数zz+ /2 を満たすとき, w = z" + 2 1 12

次の問題で何故青いところは1なのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

a os2x+ isin foxとする。 2 5 = COS 5 (1)ω°,1+α+α + α + α,1+α+ a + α + (α) の値を求めよ。 2 (2) cos の値を求めよ。 5 (1)αド・モアブルの定理を用いる。 1+α+α+α+α^ 因数分解 x-1=(x-1)(x+x+x'+x+1) を利用。 L 前問の結果の利用 α との関係 αa = la を利用 →1+α+α+α+ (α) をつくる。 Action》 α-1 +α"-2 +... +α+1は, α-1の因数分解を利用せよ (2) COS= α-1+α"-2+ Action》αの実部は, 1/2(e+)を考えよ を表すと? 思考のプロセス 5 解 (1) a³ = (cos 2/2 -77 + isin 21/17)³ = cos2m+isin2=1 ドモアブルの定理 5 これより α-1=0 よって α キ1であるから (a-1) (ω^ +α+α°+α+1)=0 1+α+α+α + α = 0 一般に 3 x-1 =(x-1)(xn-1+xn-2 1 |α| = 1 すなわち aα = ■1より, a = であるから a 2 |a| = COS π+isin +･･･+1) 2 π 1 1+a+a² + a + ( a )² = 1+ a + a ² + = + a 1+α+α+α+α4 2 = a² =0 = =1 11+ a + a ² + a³ + a² = 0 を代入する。

次の(2)の問題で青線から青線の移行がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

例題 57 "" の値 ★★★ 1 1 (1)複素数zz+ √3 を満たすとき,290 + の値を求めよ。 Z 2.30 = 1 1 = {cos(±²² 7) + ¡sin(±²² 7)}”* + {cos(± 2/37) + isin (±²/7)}" 2n 2n 土 2n = cos( ± 21/17) + isin (± 2/2 7 ) + cos(+27) + isin (+237) (2) 複素数zz+ = 1 を満たすとき, w = z" + Z の値を求め z" = COS 2n 3 ±isin 2n 3 2n +cos π干isin 3 2n π 3 よ。 ただし, n は整数とする。 2n = 2 cos 思考プロセス (1)+(2+1) と考えるのは大変。 《ReAction 複素数の乗は、 極形式で表してド・モアブルの定理を用いよ 例題 55 具体的に考える 2+112=1/3より2-3z+1=0 ⇒ 極形式 2= 1 解 (1) z+ = √ √3より 2°-√3z+1=0 Z よって (複号同順) 3 (ア)n=3k(kは整数) のとき w=2cos (2kz)=2 (イ) n=3k+1 (kは整数) のとき w = 2cos(2kz+ 237) = 2 cos² = (ウ)n=3k+2 (kは整数) のとき w=2cos cos(2kz+ (ア)~(ウ)より, kを整数とすると 4 =-1 = 2 cos =-1 2 (n=3k のとき) √√(3) -4･1･1 2 = 3 土 2 2 1 i 2 = cos(土)+isin (+)(複号同順) このとき, ドモアブルの定理により 2 = {cos(+1) +isin(土)} 土 = cos(±5π) +isin (±5π) (複号同順) =-1 w= |-1 (n=3k+1,3k+2 のとき) 1 Point z+ 1 =kのときの " + の値 Z z" 1 複素数zが z+ = k ... ①(kは実数) を満たすとする。 2 ① より z-kz+1=0 この2解は互いに共役な複素数z, zであるから, 解と係数の関係 よって |z|2=1 すなわち |z|=1 ゆえに, z=cos+isind とおくと z"=cosn0+isinn0 したがって 1 1 ゆ = =-1 2.30 -1 2" + したがって 2.30 + 1 =-1-1=-2 (2)+1 =-1 より 2+z+1=0 2次方程式の解の公式を 用いてzの値を求める。 よって このことから,z+ はnの値に関わらず実数となることも分 2" =2"+(2")-1 = (cosnd+isinn)+(cosn0+isinn0)-1 = (cosnd+isinn)+(cosn0-isinn0) =2cosno 1 34 13 2 -1±√3i 2= 2 = + =cos (2) +isin (土) (複号同順) O このとき, ドモアブルの定理により 1 w = 2" + =z+zn 23 23 T x 1 練習 57 (1) 複素数zが z+ == 2 を満たすとき, 12 + 2 1 (2) 複素数zが z+- =√2 を満たすとき, w=z 2.