赤線のとこでなぜ11を初項としてそのまま等比数列を行ってはいけないのかがわかりません、12を初項にするよう導いた理由を教えてください🙇‍♂️

3 漸化式と数学的帰納法 例題 286 漸化式 anti = pantf(n) (カ≠1) ** [Check] ai=3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列{an} の一般項an を求 めよ. 507 8 考え方 1 [解1 漸化式 αn+1=3an+2n+3 において, n を1つ先に進めてα+2 と α+1 に関 する関係式を作り、引いて, {an+1-αn) に関する漸化式を導く. 2 αに加える(または引く)nの1次式pn+g を決定することにより, {an+pn+g}が等比数列になるようにする. an+2=3an+1+2(n+1)+3 an+1=3an+2n+3 ..... ････①より、 ② ② ①より, an+2-an+1=3(an+1-an) +2 より bn=an+1-an とおくと, bn+1=36+2, b=a-a=2a+2+3=11 bn+1+1=3(6n+1) b1+1=12 したがって、数列{bn+1} は初項12, 公比3の等比数列 だから, bn+1=12.3-1=4・3" bn=4.3"-1 n-1 an=a+b=3+Σ(4.3-1) n-1 n≧2のとき, k=1 k=1 =3+ 12(3-1-1)(n-1) 3-1-(n-1) =6.31-n-2=2・3"-n-2 数 ②は①のnn+1 列 を代入したもの 差を作り, nを消去 する。 ①より, a2=3a1+2+3=14 α=3α+2 より α=-1 4・3=4・3・3-1 =12.3-1 ,01 1 より、 *+。 初項12,公比3 6・3-1=2・3・37-1 =2.3" n=1のとき, α=2・3'-1-2=3より成り立つ. n=1のときを確認 よって an=2.3"-n-2 2 p, gを定数とし, an+1+p(n+1)+g=3(an+pn+g) とおくと, an+1=3an+2pn+2g-p an+1+pn+p+q もとの漸化式と比較して, 2p = 2, 2gp=3より, か=1,g=2=3an+3pn+3q よ り,an+1=3an+2pn したがって, an+1+(n+1)+2=3(an+n+2), a1+1+2=6 ww M +2q-p Focus より,数列{an+n+2}は初項6,公比3の等比数列+ よって, an+n+2=6・3" '=23”より an=2.3"-n-2 a=3 階差数列を利用して考える 例題285(6505)のように例題286でも特性方程式を使うと=3+2+3より

pを通る、直線lに平行な直線の作図の証明を省略なしのに記述してください。

0.014になる計算過程が知りたいです

R(1-R) 0.04 x 0.96 1.96 =1.96 ≒0.014 800 141 L 明

数Ⅱの定積分の問題です 問題に(x-α)(x−β)とありますが、答えは(x+2)(x-1)となっています。これはどうしてですか？(x-2)(x-1)じゃなくて良いのでしょうか？ 回答お願いしますm(_ _)m

*456 等式(x-α)(x-B)dx=-1/2 (B-α) を利用して,次の定積分を求めよ。 a 6 ①1 S", (x²+x-2)x(2) 5 (-2x-1)dx -2 1+√2 -√2 1

黄色のアンダーラインを引いているところで、なぜ氷で冷やした水である必要があるのですか？

5 △ 実験 2 混合物の分離 見方・考え方! 保護めがね を用 火の取り扱 いに注意 夜の理 に注意 混合物の分離操作では,物質のどのような性質を利用しているのかを考える。 操作 ink 映像 ①試料 (硝酸カリウム 約4.5g 硫酸銅(II) 五水和物 約 0.15g 四酸化三鉄が少量の混合物) を 試験管に入れ、純水約8mLと沸騰石を加える。 ②①の溶液を加熱し、 しばらく沸騰させて試料をできるだけ溶かす。 ③溶液が熱いうちにろ過し, 不溶物 (水に溶けない物質)を取り除く。 ろ液を試験管で 受け、そのようすを観察する。 天 地人を味 ④③のろ液に沸騰石を数粒入れ, 図のように蒸留 装置を組みたてる。 ⑤ガスバーナーの炎を調節して蒸留を行い, 試験 管にたまる液体のようすを観察する。 注意 液量が多かったり炎が強すぎたりする と、試験管内の溶液が激しく沸騰して 飛び出すので注意する。 また,一度加 熱をやめると沸騰石は役に立たなくなる。 沸騰石 -気体誘導管 第1章 物質の構成 3 10 15 ⑥ 試験管に液体が1cm 程度たまったら,気体誘 導管を外し、加熱をやめる。 そのため、再加熱するときには新たに数粒を加える。 88 20 76で蒸発せずに残った溶液をビーカーに移して 放冷し、変化のようすを観察する。 溶液の中に 結晶ができたら, ビーカーを氷水で冷却する。 80で得られた結晶を, 図のようにして吸引ろ過 アスピレーター フナー漏斗 吸引瓶 25 しろ液のようすを観察する。 吸引ろ過の原理 水 ⑨吸引を続けながら, 氷で冷やした純水約2mL を8の結晶に注いで得られた結晶のようすを観 察する。 ①水を流すと, 吸引瓶の空気が 吸いこまれて, 水とともに 流れ出す。 空気 【結果と考察 | 30 実験の流れや分離の過程, 結果をフローチャート でまとめよ。 ③の不溶物とろ液, ⑤でたまった液 体,8のろ液,9の結晶のそれぞれについて, 状 態や色,結晶のようすなどの特徴を記せ。また, これらの中で純物質と考えられるものはどれか。 ② 吸引瓶内の空気 が次々に吸引 されることで, 効率よくろ過 できる。 ろ液 29 29

なんでこんなめんどくさい事するのか教えてください

> デスク1 42 互いに素であることの証明問題 (1) 基礎例題 86 (1) a き, a +9 は 21 の倍数であることを証明せよ。 は自然数とする。 α+2 が7の倍数であり, α+3 が3の倍数であると 基礎例題 80 発展例題 97 000 (2) 自然数αに対し, a とα+1は互いに素であることを証明せよ。 CHART 答 GUIDE 重要な性質 aとbが互いに素αともの最大公約数が1 a,b,c は整数で, a, b は互いに素であるとする。 1. ac がもの倍数であるときは6の倍数である。 2.αの倍数であり,bの倍数でもある整数は ab の倍数である。 (1) k, lを自然数として a+2=7k, a+3=31 と表すことからスタート。 ② a+9 を a+9= (a+2)+7, a+9= (a+3) +6 と2通りに表す。 (2) 3 α+9 は7かつ3の倍数となるから, 2. を用いて 7・3の倍数とする。 aとα+1の最大公約数をgとして,g=1 となることを示す。 +2, a +3 は自然数k, lを用いて a+2=7k, a+3=3l と表される。 ← 「αは自然数」でな 00 整数」の場合 様に成り立つ。 α+9= (a+2)+7=7k+7=7(k+1) ① a+9= (a+3)+6=3+6=3(+2) の倍数なら =k(kは整 ① より a+ 倍数であり,②より α+9 は 3 でも" こす に素であるから, α+9 は 73 。 )=3(1+2) 性質2.を利用 ←α+9 を消去。 であるが, いに素で性質1.を利用 整数)と表 k+1が3の

なんでAN^2が1だとわかるのですか？教えてください。

うような点Lをと CFを下ろすと ★☆ (1) AP+PM △ALBの面積 見方を変える 257 折れ線の長さの最小値 AB=AC = 4, ∠A=90° の △ABCにおいて、 辺 ABの中点をMとする。 点Pが辺BC上を働くと 次の和の最小値を求めよ。 きっ (2) AP²+PM² B [M ★★☆☆ 【折れ線 とMがPCの長さ同じ側) BC に関して ●A M Aの対称点A' をとる (A' とMがBCに関して反対側 折れ線APMの長さ M A C P B C 折れ線 APM が最小となるのはどのようなときか? 255 E L D A F B 線上にない点Pから (1) BC に関して A と対称な点を A', AMとBCの交点を Po とすると Action» 折れ線の長さの最小値は, 対称点を利用せよ (2)定理の利用 △AMP に対して, AP2+ PM2 は 2辺の2乗の和 A 2辺の2乗の和が現れる定理はなかったか? AP+PM C=A'P+PM B P M △A'MP ができるとき A'P+PM > A'M 二下ろした垂線との交 を、この垂線の足とい AP + PM = A'P+PM 2- 45° ≧A'Po+ PM B45° Pa P = A'M MAS よって, AP + PM は, PとPoが 一致するとき最小となり,最小値 はA'Mの長さに等しい。 A' A'M = √A'B°+BM=2√5 MM 1 LF + LB (2) AMの中点をNとすると, 中線定理により したがって, AP+PMの最小値は 2√5 M OHTA ・FB = CF• FH ラ =AF・FB 章 18 三角形の性質 AP²+PM² = 2(AN² + PN²) = 201+PN2 ) AP' + PM2が最小となるのは, B P P C PNが最小, すなわち, NPBC のときである。 3 このとき PN = √2 よって, AP2 + PM の最小値は 11 △A'BM は, ∠A′BM = 90° BM=2, A'B4 の直角三角形で ある。 ■中線定理 (例題 144 参 照)を用いると, 変化す る値がPN だけになる。 B' (3- 45° M PN:BN=1:√2 より 3 PN= BN= √2 /2 MC 257 A 469 p.478 問題257 S2 の相乗平均 で学ぶ)である。 るとき, GBC ■ 257∠B = 45°, AB=6,BC=10の△ABCにおいて, 辺AB上に AM 4 とな るように点をとる。 点Pが辺BC上を動くとき、次の和の最小値を求めよ。 (1)AP+PM (2) AP²+PM²

53 なぜ位置ベクトル使って例えば、A＝ａベクトルにしたらダメなんですか？

(2,3)=(-1.2) 2/14-315 = (1+√3,5 ? AC = (1, (3) +12+12-13+ || 22 ■ 14 第1章 平面上のベクトル (2) B すると、OA22= ita a+22 A.A21 BB2CiCaの中点をそれぞれ、L,M,Nをすると c atate 4 となり一致する。 STEP B *52 ∠A=60°, AB=8, AC = 5 である △ABCの内心をⅠとする。 AB=6. AC=C とするとき, Ai を6,こを用いて表せ。 53 △ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれ A1, B1, C1 とし, 平面上の任 意の点0に対し, 線分 OA, OB, OCの中点をそれぞれ A2, B2, C2 とする。 線分AjAz, BiB2, CC2 の中点は一致することを証明せよ。 *54 △ABC の重心をGとするとき,この平面上の任意の点Pに対して,等式 AP+BP-2CP=3GC が成り立つことを証明せよ。 ✓ 55 △ABCと点Pに対して,次の等式が成り立つとき,点Pの位置をいえ。 *(1) PA+PB+PC=AB *(2) AP+BP+CP=0 (3) PA+PC=AC 例題 5 △ABCと点Pに対して, 等式 6AP+3BP+2CP=0が成り立つと き, 点Pはどのような位置にあるか。 指針等式からPの位置ベクトルを表す式を導き、 その式からPがある線分の内分点である ことなどを判断する。 解答ではAに関する位置ベクトルを考えている。 [解答 AB=1, AC=c, AP= とする。 65+3(-6)+2(-2)=6 36+2c5x3+2c5x36+2c 11 11 等式から よって 5 11 2+3 したがって, 辺BC を2:3に内分する点をDとすると, 点Pは線分AD を 5:6 に内分する点 B2- D C 12- 4STEP数学C ベクトル (+1)+(+1) +1/+1-1) =0 [別 AB=6,AC- とすると AD=2AB+ AC 1+2 BE=AE-AB =-6 CF-AF-AC よって JALAS In ek AD+BE+CF (6+1)+(-6)+(-) =(1+1)+(+1)=0 51 A, B, C,D,E,F の位置ベクトルを,それ ぞれa, b,c,d,e,とし,L,M,N,P,Q, Rの位置ベクトルを, それぞれ1,m,n,p.g. とする。このとき _a+6 2 m= 2 ate *=2-50 a p=d+e¸ q=e+³¸ 7 = 7+a 2 △LNQの重心Gの位置ベクトルをg とすると i+n+g g=- 3 1/a+b c+d = 52計画 内心は角の二等分線の交点であるから、 二等分線の性質が利用できる。 LAの二等分線と辺BCの交点をDとする。 BD:DC=AB: AC, AI ID=BA:80 ある。 ∠Aの二等分線と辺BC の交点をDとすると BD: DC=AB: よって =8:5 AC AD=5AB+8AC 8+5 50+8c OL-OA+OA b + c à IN 2 2 56 指針 ** (2) ABCの面積をSとL △PCA, △PABの面積を (1) AB=6. AC=c, AP=p c+a b 等式から5p+4p-b)+3 OM= OB,+OB₂ ゆえに [30 p=4b+3c - a+b D OC+OC2 ON=- 13 また, △ABCにおいて、余弦定理により BC" =82 +52-2×8×5cos60=49 BC 0 であるから よって BC=7 8x7 BD BO=13 BIは∠Bの二等分線であるから OL=OMON となるから、 L., MNは一致 する。すなわち、線分A1A2. B,B2 CC2の中 点は一致する 。 54 A, B, C. G.Pの位置ベクトルをそれぞ a,b,c.g, とする。 12 =1/2x4+3 7 745+= =123+ したがって,辺BCを3: すると、点Pは線分AD ある。 (2) △ABCの面積を S とする と APBC=12 APCA = AADC 8x7 AI: ID=BA BD=8: -=13:7 点Gは△ABCの重心であるから 13 a+b+c ゆえに AI=1347 AD=0x50+8 13 したがって 53 OA=a, OB=1, 左辺右辺 =AP+BP-2CP-3GC =(-a)+(-6)-2p-c)-3(c-g) = -a+b+c)+3g 5091 3x + =-(a+b+c)+3x_ OC=c とすると OB+OC OA₁ = B2 2 G b+c 2 よって 左辺=右辺 A02 A₁ OC+OA OB₁ = =(a+6+2)+(a+6+2 = d 55AB=6. AC=c, AP= とする。 -P+(b-p)+(c-p)= *56 △ABCと点Pに対して, 等式 5AP+4BP+3CP=0 が成り立っている。 (1) 点Pの位置をいえ。 (2)△PBC: △PCA: △PAB を求めよ。 セント 52角の二等分線の性質を利用。 △ABCにおいて,∠Aの二等分線と辺BCの交点をDと すると BD DC=AB: AC 53 線分 A1 A2, BiB2, CiC2 の各中点の位置ベクトルが一致することを示す。 ば底辺の長さの比に等しい。 56 (2)三角形の面積の比は、底辺の長さが等しければ高さの比に等しく,高さが等しけれ 3 2 ¹(a+b+c+d+e+1) △MPR の重心の位置ベクトルをとすると _mtptr g=" 1(b+c d+e +a\ "32" =(a+b+c+d+e+7) g=gとなるから,GとGは一致する。 6-3-5-(-6) APAB=12AABD APBC: APCA よって c+a 2 1等式から よって OA+OB OC= a+b したがって、点Pは辺 ACを12に内分する点 である。 OA また 02= 2 =2 2) 等式から P+(-b)+(p-2)=0 57 AB=OB-OA =b-a AP=OP-0A =(3a-26) =2a-26 =-26-2 よってAP= ゆえに、点Pは a0, b 条件から直 OB b よって 0B2= b= b+c 22 58 (1) OB=4- OC C OC-22 3)等式から したがって、点Pは△ABCの重心である。 -p+(c-p)=c よって、3点 (2) AC=OC- ここで, 線分A1A, B, B2, CiC2 の中点を、 そ れぞれ L, M, Nとすると よって p=o =(24+ したがって, 点PはAと一致する。 =400+

確率の問題です 58では足す時に排反と書いているのに なぜ59では排反と書いているのでしょうか？

388 基本 例題 58 条件付き確率の計算 (2) ... 場合の数利用 00000 3個のさいころを同時に投げ, 出た目の最大値を X, 最小値をYとし、その差 X-YをZとする。 (1) Z=4 となる確率を求めよ。 (類 センター試験) ( Z=4 という条件のもとで,X=5となる条件付き確率を求めよ。 p.385 基本事項 指針▷ (1) 1X66 から, Z=4 となるのは, (X, Y) = (5, 1), (62) のときである この2つの場合に分けて, Z=4となる目の出方を数え上げる。 (2) Z4となる事象をA, X=5 となる事象をBとすると,求める確率は 条件付き確率 P (B) である。 (1)n(A), n (A∩B) を求めているから, n(A∩B) PA(B)= n(A) を利用して計算するとよい。 ←全体をAとしたときのA∩Bの割合 基本例題 59 確率の乗法定理 (1) .... くじ引きの確率 389 00000 10本のくじの中に当たりくじが3本ある。 一度引いたくじはもとに戻さない。 (1) 初めにa が1本引き, 次にbが1本引くとき, 次の確率を求めよ。 na, b ともに当たる確率 (イ) b が当たる確率 初めaが1本ずつ2回引き, 次にbが1本引くとき, a, b が1本ずつ当たる 確率を求めよ。 p.385 基本事項 2 指針 順列の考え方でも解けるが,ここでは, 確率の乗法定理を利用して解いてみよう。 「a, bの順にくじを引く」, 「引いたくじはもとに戻さない (非復元抽出)」 から, aの結果 bの結果に影響を与える。 よって、 経過に伴うくじの状態に注目して確率を計算する (1) aが当たるという事象を A, b が当たるという事象をBとする。 求める確率はP(A∩B) であるから P(A∩B)=P(A)P (B) 1 bが当たる場合を2つの事象(a, b), fax, bO} ○当たり、×はずれ に分ける。 2つの事象は互いに排反であるから、最後に加法定理を利用する。 る。 る。 2章 9 2) 条件付き確率 1) 解答 (1) Z4となるのは, (X, Y) =(5, 1), (6, 2) のときである。 Z=X-Y=4から [1] (X, Y) = (5,1)のとき る 解答 X=Y+4 当たることを○, はずれることを×で表す。 このような3個のさいころの目の組を, 目の大きい方から 順にあげると,次のようになる。 3! 3! この場合の数は +3×3! + =24 2! 2! (5, 5, 1), (5, 4, 1), (5, 3, 1), (5, 2, 1), (5, 1, 1) Y= 1 または Y=2 X≦6 であるためには が当たるという事象をA, b が当たるという事象をBと 記述を簡単にする工夫。 する。 (7) P(A)=3 10' P(B)= 2 であるから,求める確率は 組 (5,5,1)と組 m P(A∩B)=P(A)P(B)= [2] (X, Y) = (62) のとき [1] と同様にして, 目の組を調べると (5,1,1)については、同 じものを含む順列を利用。 (6, 6, 2), (6, 5, 2), (6, 4, 2), (6, 3, 2), (6, 2, 2) (同じものがない1個の数 が入る場所を選ぶと考えて、 3! 3! =3x2. + この場合の数は +3×3! + 2! 2!=24 以上から, Z= 4 となる場合の数は 24+24=48 (通り) 48 2 よって, 求める確率は 639 (2) Z4となる事象をA, X=5 となる事象をBとすると, 求める確率は n(ANB) 24 1 PA (B)= = n(A) 48 2 P(B) _P(A∩B)n(A∩B) P(A) n(A) B (検討 3 上の例題において, a が当たる確率は 一般に Cとしてもよい。) 他の3組については順列を 利用。 10 9 15 bが当たるのは,{a O, b◯}, {a x, b◯} の場合があ りこれらの事象は互いに排反である。 求める確率は P(B)=P(A∩B)+P(A∩B)=P(A)PA (B)+P(A)P(B) 10 9 7 3 3 =- 10 9 10 (2) a, b が1本ずつ当たるのは, {a, a x, b◯}, ax,O,b} の場合があり, これらの事象は互いに排反 である。 求める確率は a がはずれたとき, bは当 たりくじを3本含む9本の くじから引く。 P(A∩BNC) -x-x + 10 7 9 8 10 9 8 60 7 3 2 X- =P(A)PA (B) PAB (C) 3 aが当たったとき, bは当 -x2 1 たりくじを2本含む9本の くじから引く。 は で,これは(1)(イ)で求めたbが当たる確率と第

定数項のときは1しかだめなんですか？せいすうだったらなんでもいいですよね？

✓ 13 次の式の展開式における、[ ]内のものを求めよ。 (1)(x+2) [x2 の項の係数] (2) (2x³- (2x³-3x²)* 5 1 [定数項]