解答からの2行目の式が理解できません

358 第6章 微分法 練習 [181 例題181 微分係数 (1) 微分係数の定義に従って lim h0 (2) 微分係数 f'(a) の定義に従って lim f'(a) で表せ. 考え方 (1) f'(5)=limf(x) (5) →5 x-5 解答 (1) lim x-5 =lim x-5 =lim x-5 =5lim x5 =5f'(5)-f(5) (2) lim 14-0 =lim h→0 =lim h→0 =lim- h→0 5f(x)-xf(5) x-5 5f(x)-5f(5) +5f (5)-xf (5) x-5 x→a 5{f(x)f(5)} -f(5)(x-5) x-5 x-5 f(x)-f(5) x-5 -+lim 5 f(a+h)-f(a-2h) h -+lim{-f(5)} x 5 (2) f(a+h)-f(a) h h JJANG Ff'(a)+2f'(a)=3f'(a)_ Focus xq 5f(x)-xf(5) x-5 f(a+h) f(a)+f(a) -f (a-2h) h -lim h→0 (2) f'(a)=lim Chata mt f(a+h)-f(a)__(−2) · lim h→0 S'(a)=limf(x)-f(a) x-a f(a+h)-f(a-2h) h xa (1) 微分係数 f'(a) が存在する h→0 044 f(a−2h)-f(a) (x + $A h (5) f'(5) で表せ f(a+)-f(a) .im f(a−2h)-f(a) -2h SI=(AS+SI) mail (東京薬科大) f'(a)=limfa+O)-f(a) 注》は例題 181 (2)のように、ではなく 2hになる場合もあるが、2箇所の●は同じで、 ん→0のとき→0でないといけない ただし, lim の下はん→0のままでよい。 また、例題 181 の解答では、次の性質を利用している. (kは定数) limkf(x)=klimf(x), lim{f(x)±g(x)} = limf(x) ±limg(x) (複号同順) x→a を (防衛大改) x→5のままで考える。 {f(x) - f(5)} を作るため に,5f(5) を引いて加える。 微分係数の定義 f(a+h) f(a) を作るため にf(a) を引いて加える. 分子の a-2hに合わせて 分母も2hにし, lim の 前に2を掛ける. h→0のとき2h0 Thin 例 HOM 考

数三最大最小です ⑵ですがf’(x)の+ や-はどうやって判断していますか？

章 微分法の応用 Ched ・ 例煙 184 最大 最小 (1) 次の関数の最大値、最小値を求めよ. (1) f(x)=x+2/12 (12/22 (12/2≦x≦3) 解答 考え方 定義域が与えられているので, f(x) の増減表を作り, 端点の値と極値を比べる。 (1) f'(x)=1-12==1=(x+1)(x-1) Focus A f'(x) f(x) f'(x)=0 とすると, x=±1 したがって, f(x) の増減表は次のようになる。 10 3 1 3 5 2 1 0 V 2 x 20 よって, ... - ... π 4 0 1 √√2 最大値 1 ... f'(x) f(x) 1 y - + 3 e-(0)1-(0)2-(0)7 最大値 (x = 3), 最小値2(x=1) sinx=cosx より, π x== 4 YA したがって, f(x) の増減表は次のようになる.! ... (2) f(x)=sin³x+cos³x (0≤x≤x) +1 7 10 よって, 3 (2) f'(x)=3sin'x ・cosx+3cos'x· (−sinx) =3sinxcosx(sinx-cosx) f'(x)=0 とすると, sinx = 0 より, x=0, π, cosx=0 より、x=2 π 2 0 1 Miche |x=0, - π -1 ( /2 最大・最小は,極値と端点の値を調べよ O -1 5 74 (S- π 2人 最小値-1 (x=x) O - ** 最大の ------12 最小 11 2 最大 4 3 I 最小 注》〉漸近線や,これから学ぶグラフの凹凸を調べれば、より正確にグラフをかけるが、最大 値・最小値を求めるときは,これまでの上

下から2行目のforはこの文中でどういった意味を持っているのか教えて頂きたいです。

15 among ある人物 Even if someone must die prematurely because of the injustice ¶4 ~といろ of global health inequality, it is doubly unjust for that person to be 不幸不幸 S (4) 720 仮S 運命付けられている の苦しい。 condemned to an agonizing death racked by preventable pain. Moreover, V3 松平 Watts!! by focusing on improving end-of-life care, itself a significant humanitarian rack 苦しめる 七面と訳す。 crisis, we may be laying the groundwork for more comprehensive, humane which is よくある!! and ethical health care systems in developing countries

ガウス記号について理解が浅いのですが、写真の赤線の所はなぜマイナスがでてくるんですか？

500 第8章 整数の性質 *** 例題274 ガウス記号 (1)正の実数xを小数で表したとき,次の値をガウス記号を用いて表せ。 (ア) 小数点以下を切り上げた数(イ) 小数第1位を四捨五入した数 (2) [x+y]-[x] - [y] のとり得る値を求め 2つの実数x,yに対して, よ. 考え方 (1) (ア)は, たとえば, 小数点以下を切り上げると2になる数は, 1.1, 1.8, 2 などが当て はまり,1は当てはまらないことから、1<x≦2 を満たす x である. これを一般 の整数nについて考え,ガウス記号の定義を利用する。(イ)も同様。[] 解答(n-1<x≦n (nは整数)のとき,正の実数xの 小数部分を切り上げた数はnとなる. このとき, -n≦x<-n+1 [-x]=-n Focus (OFF(X)= よって, n=-[-x] より,求める数は, 601 -[-x] 830-1 1 (1) n-1/2/2x<n+1/12 (nは整数)のとき,正の実数 (イ) 71. -xの小数第1位を四捨五入した数はnとなる. このとき、n≦x+ +1/12/<n+1より、 =n よって求める数は1/2 Spot =(1-)!! (2) 0≦x<1,0≦β<1 とすると, x=[x]+α, y=[y]+β と表せるので __ x+y=[x]+[y]+a+ß (0≤a+B<2) (i) 0≦a+β<1のとき [x+y]=[x]+[y] (ii) 1≦a+β<2のとき -1 [x+y]=[x]+[y]+1 よって, (i), (i)より, $30 1- [x+y]-[x]-[y]=0, 1 -*=1 ガウス記号の定義を 利用できるように不 等式を整理する. caf10000 Ft ガウス記号については,まず具体的な数で実験する

青線で引いてあるのがなぜこのようになるのか分かりません。

例題 72 解の存在範囲 (4) 2次方程式 ax²-(a+1)x-3=0 の1つの解が-1<x<1の範囲にあ り、他の解が2<x<4の範囲にあるような定数aの値の範囲を求めよ。 考え方 y=f(x)=ax²-(a+1)x-3 とおくと, 題意を満たすのは, f(x)のグラフが 右の図のようになるとき. つまり, グラフの凹凸に関係なく f(-1) f(1) 異符号, (2) f(4) が異符号 Focus f(1)=a・12-(a+1)・1-3=-4 y=f(x) より, f(-1)f(1) <0, (2)(4)<0 となるときである1と1の間2と4の間 -1と1の間 24の間 解答 y=f(x)=ax²-(α+1)x-3 とおくと, f(x)=0は2次方程式より a=0 求めるのは, y=f(x)のグラフが-1<x<1と2<x<4 の範囲で,それぞれx軸と交わるαの値の範囲である. (i)y=f(x)のグラフが-1<x<1の範囲でx軸と交 わるための条件は,f(-1) f(1) <0_となることである. f(-1)=a・(-1)²-(α+1)・(-1)-3=2a-2 (2)f(4)=(2a-5)(12a-7)<0 より したがって、 1<a<2/2 5 よって、①,②より、 1<a</1/2 5 ......2 (PT) y=f(x) より f(-1) f(1)=(2a-2)・(-4)<0 したがって, a-1>0 より, a>1 ･① (ii)y=f(x)のグラフが2<x<4 の範囲でx軸と交わ るための条件は, (2) f(4)<0 となることである. f(2)=α・22-(a+1)・2-3=2a-5 f(4)=a•4²-(a+1) 4-3=12a-7RM30) (2) 10 D 2 7 1 12 4 x-1 解の1つがより大きくgより小さい, 他の1つはより小さいか」より大きい ⇒ f(p)・f(g) < 0 31000 CINE 2318261- 5 * * * * 2 1 (1) AL a 2 14 2次方程式 ax²-(a+1)x-3 より、a≠0 a>0 の場合 a < 0 の場合 x 1 2 =0 4x 4 XC となり,いずれも f(-1)(1)<0 ƒ(2)•ƒ(4) <0 となる. Thir 例 注》例題 72 のように, f(-1) f(1) <0 かつf(2) (4) <0 のとき、必ずx軸と2つの共 有点をもつから, 頂点のy座標の正負に触れる必要はない、軸の位置 のことを,いろいろな2次関数のグラフをかいて確かめて

数三置換積分です。 別解で積分定数C’が出でくるのですが、どうしてですか？

Check 題 229 贈答 次の不定積分を求めよ. fx(2x-1) dx 置換積分法 (1) 展開するのではなく, 2x-1=tとおいて考える。 (2)√x=t とおく.(√x-1=tとおいてもよい。)(メー Cは積分定数とする. ub(g)))=xb(x)'`b((2) (1) 2x-1=t とおくと, Focus x= (2)√x=t とおくと, dx = 1/2*, dx==1/dt より, dt ・dt よって, t+1 2 Sx(2x-1)³dx=+1.1.1/dt -²+²-1+1+1+c = 1 S ( 1° +15) dt = 1 + 1/ 4 7 =168 °(6t+7)+C=18(2 -(2x−1)³(12x+1)+C x=12 dx=2t より, dx=2tdt dt よって, S₁²₁²_₁dx=S+² ₁.2 tdt √x-1 4 dx=2t+2より dt √√√²-10²₂ dx 1x (別解)√x-1=t とおくと, x=t2+2t+1 *** -tº C =2√x+10g(√x-1)2+C. =(2t-1)+2d=(2+121) dt =2t+2log|t-1|+C=2√x +10g(√x-1)2+C .873 31 basicns mit Geon= dx=(2t+2)dt S√²-7 dx = S(2t+2)dt =S (2+2) dt x-1 =2t+2log|t|+C'=2(√x-1)+210g|√x-1|+C ** x=g(t) とおくと, f(x)dx=~f(g(t)g'(t)dt 両辺をtで微分する. dt を微分形式と いう. (p.489 参照) dx に 1/12dt を代入す る. 最後はxの式に戻す. 2tdt を微分形式と いう. (p.489 参照) dx に 2tdt を代入す る. S/1/dx=log|x|+C 最後はxの式に戻す. dx に (2t+2) dt を 代入する。 C-2=C としている。 最後はxの式に戻す。 49

フォーカスゴールドの問題なのですが、問題文の意味から分かりません。解説をお願いしたいです、、。

は、 保 Check 例題 243 互いに素な自然数の個数 力を自然数とする。(m≦nでmとnが互いに素である自然数mの個数 *** をf(n)とするとき,次の問いに答えよ. (1) f(15) を求めよ. (2) f(pg) を求めよ.ただし, b, q は異なる素数とする. (3) f(p) を求めよ。ただし、pは素数,kは自然数とする。(名古屋大・改) 考え方 (1) 15 であるから, f(15) は, 15以下の自然数で15と互いに素,つまり,3の倍 ま数でも5の倍数でもない自然数の個数を表す. (2) は異なる素数であるから、 と互いに素である自然数は,かの倍数でもgの 倍数でもない自然数である. 互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 よって (3) 解答 (1) 15=3.5 であるから, 15と互いに素でない自然数, すなわち, 3の倍数または5の倍数であり, 15以下の より、自然数は, 3, 6, 9, 12,15, 5, 10 の7個である. よって, 15 と互いに素な自然数の個数は、 150 f(15)=15-7=8 その他の 練習 1 約数と倍数 Focus 13 NE-A 実は (2) p, gは異なる素数であるから, pg と互いに素でな い自然数, すなわち, pの倍数またはαの倍数であり、 pg 以下の自然数は, pq+10+1 Dの倍数 1p,2p,.... (g-1) p, pg ⑨個 ⑨の倍数 1・g, 2g, ..., (p-1)q, pq p の1個 pg の倍数 pg より, (q+p-1) 1 0103 よって, pg と互いに素な自然数の個数は, bb. f(pq) = pq-(g+p-1)-DALS)-(6-8-S (8) = pg-p-g+1=(p-1)(g-1) (3) p, 自然数であるから、が以下の自然数はがきが 個ある. この結果は素数であるから,以下の自然数での倍数 カー1(個) 「互いに素である」の 否定 「互いに素でな 「い」を考える. このf(n) をオイラー 関数という. (p.432 Column 参照) (1)を一般的に考える. p=3,g=5としてみ ると見通しがよくなる. pq÷p=q (1) pg÷g=p(個) は全部で, したがって f(p") = pk-pk-1 ES AICI IT TO .80 (85)5√3 ST=N 、電 互いに素である自然数の個数は、補集合の考えを利用せよ SON YASSKOR LUSHAJAJ 例題243のf(n) について次の問いに答えよ.ただし, p q は異なる素数 ( ^^)とする 431 第8章

長めの文になります。 現在1浪明治大学総合数理学部志望です。 最近、日東駒專の数学の過去問を解いているのですが、解けるときと解けないときの差が激しく、4割〜7.5割の間をうろついている状態です。以前から基礎問題精構という参考書を使っていて、一般的にこの参考書ができれば、日東... 続きを読む

上から16行目位のofの後の^ には何か言葉が省略されているのかと思うのですが、何が省略されてるのでしょうか？

When we think about lives filled with meaning, we often focus on people whose grand contributions benefited humanity. Abraham Lincoln, Martin Luther King, Jr., and 壮な Nelson Mandela surely felt they had a worthwhile life. However, how about us ordinary people? Many scholars agree that a subjectively meaningful existence often boils down to 主観的に (a) three factors: the feeling that one's life is coherent and “makes sense,” the possession of clear and satisfying long-term goals, and the belief that one's life matters in the grand 信念 scheme of things. Psychologists call these three things coherence, purpose, and (1) existential mattering. 存在に関する な However, we believe that there is another element to consider. Think about the first butterfly you stop to admire after a long winter, or imagine the scenery on top of a hill after a fresh hike. Sometimes existence delivers us small moments of beauty. When S people are open to appreciating such experiences, these moments may enhance how they =4 view their life. We call this element experiential appreciation. The phenomenon reflects 感謝価値評価 the feeling of a deep connection to events as they occur and the ability to extract value 抽出する. V from that link. It represents the detection of and admiration for life's inherent beauty. 発 (b) 本来備わっている。 We recently set out to better understand this form of appreciation in a series of studies that involved more than 3,000 participants. Across these studies, we were interested in whether experiential appreciation was related to a person's sense of meaning even when we accounted for the effects of the classic trio of coherence, purpose, and existential mattering. If so, experiential appreciation could be a unique (c) contributor to meaningfulness and not simply a product of these other variables. 変数の産物 As an initial test of our idea, during the early stages of the COVID pandemic, we had participants rate to what extent they agreed with different coping strategies to 対処方法 relieve their stress. We found that people who managed stress by focusing on their Avent appreciation for life's beauty also reported experiencing life as highly meaningful. In 感謝 - 1 - 有意義

〰️を引いた式の不等号がどうしてそうなるのかわかりません。教えてください🙇‍♀️

るため する。 ev ev 110 方程式の整数解 (4) CANTOJA 例題270 不定方程式 2x+3y+z=10 を満たす自然数の組(x, y, z) をすべて求 めよ. 考え方 整数解ではなく, 自然数解であることに注意する. すなわち, x1,y≧1, z ≧1 ・･・・・・・(*) である. 1つの文字について整理すると, 3y=10-2x-zであり, x≧1, z≧1 であるから, TR. 3y=10-2x-z≦10-2×1-1=73) これより,yの値が見えてくる.このように(*)を利用して値を絞り込む. 3y=10-2x-2 x, zは自然数であるから,x≧1 ≧① より。 3y=10-2x-z≦10-2×1-1=7 解答 与式をyについて整理すると, ましたがって,y≧1/27より。 3 300< .0< Focus y = 1, 2 (i)y=1のとき, 2x+3+z=10 より, 2x+z=7 ......① 0: z≧1 より, 2x=7-z≦7-1=6 したがって,x≧3より、x=1,2,3 ①より, (x, z)=(1, 5), (2, 3), (3, 1) < (ii)y=2 のとき, 2x+6+z=10より, 512x+z=4 ・② z≧1 より, したがって、x=2123 より x≦ よって, 2x=4-z≦4-1=3 ② より, (x, z)=(1,2) x=1 3 不定方程式 565 (x,y,z)=(1, 1,5), (2,1,3), (3, 1, 1), (1, 2, 2) **** 求める解が自然数のときは, とり得る値の範囲に注意して 「値を絞り込む」 について整理するの は,係数が最も大きい から。(下の注>を参 照) 1sys/ を満たすy の値は、1と2 同様に,次はxの値を 絞り込む. 40 1= Ads=47