実力アップ問題 138
難易度
CHECK 1 CHECK 2
CHECK3
直角三角形 ABCは,∠Cが直角で、 各辺の長さは整数であるとする。
辺 BC の長さが3以上の素数』であるとき,以下の問いに答えよ。
(1) 辺 AB, CA の長さをを用いて表せ。
(2) tan ∠A は整数にならないことを示せ。
(千葉大)
ヒント! (1) AB = c, CA = b とおくと, 三平方の定理から,c2=P2+b2
となることを利用する。 (2) は,背理法を用いて証明しよう。
(1)BC=p (3以上
の素数)
ここで, tan ∠A=m (整数) と
2p
仮定すると,
=m より,
2
ここで,AB=c,
CA = b とおくと,
B
P
p′-1
2p=m(p+1)(p-1... ④
p の倍数 4 以上 2以上
三平方の定理より,
3以上の素数
となる。 ④の左辺はp の倍数より,
c2 = p'+b2 これを変形して,
c2-b2=p2(c, b:自然数)
(c+b)(c-b)=p^ ...... ①
ここで,c+b>c-bであり,c+b
とc-bは正の整数より, ① から
c+b=p2.②
となる。
③
④の右辺もの倍数となる。 しか
い
p+1とp-1はp の倍数では
ないので,mがp の倍数となる。
よって,m≧p …⑤
m=k.p(k:正の整数)より,
m≧p となるんだね。
c-b=1
② + ③ より c=p2+1
また, pは3以上の素数なので,
......(答)
2
2
2-3
b =
-P2-1
p+1≧4
{n+1
P-1≧2
・⑥ となる。
………..(答)
2
2
以上 ⑤ ⑥
h
④の辺は
