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318 数学ⅡI
EX 次の定積分を求めよ。
$190cm)
-43.dx
HINT (1) ビー! とおく。 (2)
(1) e²=12<2 x=logt. dx=dt
とその対応は右のようになるから
1
Soe² +2e=²+3 dx = √ +3
¹1 + ² + 3
2 2x+1
Jo
x2+4
ゆえに
-S₁ F²+31 +2 dt-S₁ (1+1)(1+2) dt
=S₁7²+31+2
=S₁(1+1=1+2)dt = [log(t+1)-log(t+2)],
よって
3(e+1)
=log(e+1)-log(e+2)-(log 2-log 3)=log 2(e+2)
2
-dx=
2
dx
Jo √√x²+4
2x
dx
$ 2x+1 dx-S 24 dx + √²+1
x²+4+x
√√x²+4
(*) 0₂) 5 2+1
1
√x²+4 dx=dt
+ +
-dx=dt
at
T
dx
- dx + S²₁²√x²+4
2+2√2
2
C2 2x
Jo √√x²+4
の形。
2x
S₁² √₂²³4 dx=S² (x²+4) dx = [2√x²+4]=4√2-4x20)¥ ©E,
Joc² +4
次に,x+√x2+4=t とおくと
0→1
t 1-e
dx
[注意]
√√x²+4
置換積分法による計算が2回必要になる。
x=2tan0 とおくと dx=
do
xと0の対応は右のようになる。
12
dx
t
0 → 2
2 → 2+2√2
xtの対応は右のようになるから
72+2√2
= S²
= √2+2/3 dt = [108
=[logt]+/= log(2+2√/2)-log 2
t
12
=log
=log(1+√√2)
したがって S.2x+1dx=4√2-4+log(1+√2)
2
cos²0
このように分けて積分する。
dx (
12
S²√²+4=So √4tan ²0+4 · cos²0 de
2
←置換積分法。
(1+(t+1)(t+2)
(1-18) (+18)
(1+√x²+4 )dx=dt_< <√**+A £star
S
←部分分数に分解。
1
0
itsjef.
は,次のようにして求めることもできるが,
(t+2)-(t+1)
(t+1)(t+2)
0-
Joey
X 0 → 2
π
4
ear
→x+√√√x²+A=t
おく。
1. V. e)s=
←√内
x2+4=x2+22の形→
x=2tan とおく。
1
tan²0+1
-=cos²0
