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い
コ
3次関数のグラフとその接線で囲まれた図形の面積
$1
問題
2000101
関数f(x) は x = -2 と x=1のとき極値をとる。
グラフはy軸と点B(0, -9) で交わることから f(x)=-
y=f(x)のグラフがx軸と点A(-3, 0) で交わることから f(x)=キ
=
とがわかる。よって, y=f(x)の極大値は シス, 極小値はセソタである。
=
a
とおける。よって, f(x) は積分定数 C を用いて
a
1
る接線の方程式はy=チ (t+[
・曲線 y=f(x) の接線のうち, 点C(0, -8) を通る直線を y=g(x) とする。 曲線 y=f(x) 上の点T (t, f(t)) におけ
(t-〒x-1
ピーナピーであるから,
したがって f(x) = 2x³+3x²-12x-9
このとき f'(x)=6(x+2)(x-1)
f(x) の増減表は右のようになる。
よって
²³+
x
((x)=
) =ヌネノx-8であり, 曲線 y=f(x) と直線y=g(x) で囲まれる部分の面積をSとすると S=
$003) A
解答
(1) 3次関数 f(x) の導関数 f'(x) は2次関数であり f(x)はx=-2
とx=1のとき極値をとるから,f'(x) は, 0でない定数 α を用いて
f'(x)=a(x+2)(x-1)=a(x^2+x−2)
a
エ
|f'(x) +)
f(x)
f(x) = af (x² + x − 2) dx = a[(1/17 x³ + ²/7 x ² − 2 x) + C
y = f(x)のグラフがy軸と点B(0, -9) で交わるから,
f(0) = -9 より C = -9
ゆえに
f(x)=
= 3x²+2x³²
x+=x-2ax-9
さらに, y=f(x)のグラフがx軸と点A(-3, 0) で交わるから,
f(-3)=0 より
a=6
xº
-2
0
11
x³ +
-
イ) とおける。 また, y=f(x) の
オ
ax- カとかける。 さらに,
x²- ケコ サ であるこ
polic
1
0
-16
...
+
/
f(x) = 2x³+3x²-12x-9
また, f(x)はx=-2のとき極大値11,x=1のとき極小値-16
TOS
(f(t)) における接線の方程式は
f(x) は2次式で
f'(-2)=f'(1) = 0
f(-3) =
「ハヒ
フヘ
=
0 S
3
-1
f'(x)=a(x+2)(x-1)
\y=g(x) y
である。
a-9=0
O
x
y=f(x)
G
5章
微分と積分
