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演習 例題 123 合同式を利用した証明 (1)
a,bは3で割り切れない整数とする。 このとき, d+α2b+64 は3で割り切れる
ことを証明せよ。
200
1000円)
倉敷芸科大]
指針▷基本例題 117, 118 で似た問題を扱ったが,ここでは 合同式を利用して証明してみよう。
aが3で割り切れない整数とは,αを3で割った余りは1または2ということである ( 6 に
ついても同じ)。 このことから,問題を合同式で表すと,次のようになる。
1997
「α=1 (mod 3) またはa=2 (mod3) b=1 (mod3) または 6≡2(mod 3) のとき
である。
a+α²62+64=0 (mod3) であることを証明せよ。」
愛界に使える
なお、証明では, 解答のように表を用いると簡明である。
【CHART
201
決まった数の割り算や
倍数に関係する問題
解答
a,bは3で割り切れない整数であるから, 3を法として
[1] a=1, b=1 [2] a=1,b=2
の
[3] a=2, b=1 [4] a=2, b=2
[1]~[4] の各場合について, α' +α'b' + b を計算すると,次の
表のようになる。
16 aª
a262
[1]
14=1
12･12=1
64
1¹=1
a¹ + a²b² +64 3=0
よって いずれの場合も
合同式を利用すると簡明
[2]
14≡1
12･22=1
24≡1
3=0
[3]
24=1
22・12=1 22.22=1
14≡1
24=1
3=0
3=0
a+a²b²+b=0 (mod 3) (8
[4]
24=1
したがって, a4 + α'b' + 64 は3で割り切れる。
p.492 基本事項 ③
(SI bom)
式が煩雑になるので,O
(mod3) は省略した。
ただし, 下線のように最初
に断っておくこと｡
(e bo
bor Wa
bod)
124=16=1 (mod 3)
2²=4=1 (mod 3)
「
BJ
FODOS
(1)
|A=B (mod m),
C(C=D (mod m) s (N)
ならば
A+C=B+D (mod m)
