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考え方 p,qは素数より,pq の正の約数の和は, (1+か)(1+q)=1+p+q+pq (b.418参照)で
436 第8章 整数の性質
nを除く nの正の約数の和 (完全数)
例 題 244
2以上の自然数nについて, nを除くnの正の約数の和を S(n) とすっ
とき,次の問いに答えよ。
(1) S(pq)=D pq を満たす素数p, q(か<q) を求めよ。
(2) S(r's)=r's を満たす素数r, s (r<s) を求めよ。
Column
「い
ここ
I.5
あるが、S(pg) は 加を除いた約数の和であるから, S(pq)=1+か+qとなる
そ
(1)か,qは素数より, pa以外の pqの正の約数の和は,
p4pi (1+p)(1+q)-加=1+カ+q
解答
(例)
p.418 参照
(確
したがって, S(pq)=D pq のとき,1+p+q= qより,
pg-p-q=1
(カ-1)(q-1)=D2 ①
ここで,p, qは素数で, 2<かくqであるから,
p-1, q-1も整数で,
したがって,①を満たすのは,
よって,
(2) r, sは素数より, 's以外のr'sの正の約数の和は,
P<4 だから。
この式変形は p.470
参照
P-1-1
4-ド-2
(2-2
1Sp-1<q-1
p-1=1, q-1=2
p=2, q=3
このとき,加=6
承然の最んはこ!
したがって,S(r's)=r's のとき,
y+x+13(rパーァー1)s ①
ここで,r, sは素数で, 2<r<s であるから,
また,r22 より,ァー121 であるから,
p-r-1=r(r-1)-122×1-1=1>0
したがって,①より,
これを整理すると,
この不等式を解いて
rは素数であるから,
のにア=2 を代入して,
これは r<s を満たす。
よって,
sについて整理
S23
代んちっ方ゃのとき。
(20倍数
petr+123(デーァー1)
y-2r-2<0
1-/3Srs1+V3
も
Sれをやることで
修田を
「子。
3 =1.732……より、
1-/3=-0.732…
s条欲なら。1+/3 =2.732……
r=2
S=7
r=2, s=7
数→色分と1の29
このとき、's=28
くらすうーム
主う。
注》2以上の自然数nに対して、nを除くnの正の約数の和 S(n)が、nに等しい自然数n
を完全数という(例題で求めた6や 28は完全数である).
また, S(n) について, S(n)=n が成り立つとき, この両辺にnを加えると,
S(n)+n=2n となる.このS(n)+nは自然数nの正の約数の総和であるから, 「2以
上の自然数nについて, nの正の約数の総和をT(n)とすると,T(n)=2n が成り立つ
とき、nは完全数」としてもよい。
ww
m
ww
ww
m
Tどはししかない
M
練習
2以上の自然数nについて, nの正の約数の和をT(n) とする。
244 n=2"-1(2"-1) (mは2以上の自然数)として, 2"-1が素数であるとき,
T(n)=2n が成り立つことを, 1+2+… +2"-!=2m-1 であることを用いて
証明せよ。
|ト
