126.1 解説の3行目以降の()は何をしているのですか？

504 00000 基本例題126 互除法の応用問題 (1) 2つの整数m,nの最大公約数と3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一致す ることを示せ。 (2) 7 +48 +5 が互いに素になるような 100 以下の自然数n つあるか。 指針 最大公約数が関係した問題では, p.501 基本事項 ① (*)で示した, 右の定理を利用して,数を小さくし ていくと考えやすい。 本問のように,整式が出てくるときは,まず, 2つの 式の関係をa=bg+r の形に表す。 次に, 式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。 解答 2 数A, B の最大公約数を (A,B) で表す。 口 (1) 3m+4n=(2m+3m) ・1+m+n, 2m+3n=(m+n) ・2+n, m+n=n·1+m よって (3m+4n, 2m+3n)=(2m+3n, m+n) =(m+n, n)=(n, m) したがって,m,nの最大公約数と3m+4n,2m+3nの最 大公約数は一致する。 221 DE 01 ① とおくと 2 は全部でいく p.501 基本事項 ① aとbの最大公約数 a=batr 等しい 3m+4n=a m=3a-4b [別解 2m+3n=b n=36-2a mとnの最大公約数をd, aとbの最大公約数をeとする。 ① より αと6はdで割り切れるから, dはaとbの公約数 である。 ゆえに d≤e ...... e≦d 同様に,②よりはとnの公約数で ③ ④ から d=e よって, 最大公約数は一致する。 (2) 8n+5=(7n+4)·1+n+1, 7n+4=(n+1).7-3 ゆえに (8n+5, 7n+4)=(7n+4, n+1)=(n+1, 3) 7 +4と8+5は互いに素であるとき, n+1と3も互いに 素であるから, n +1と3が互いに素であるようなnの個数 を求めればよい。 R-X10 2≦n+1≦101 の範囲に,3の倍数は33個あるから 求める 自然数は 100-3367 (個) 練習 ③ 126 (1)a,bが互いに素な自然数のとき, 3a+7b 2a+5b とrの最大公約数 差をとって考えてもよい。 3m+4n-(2m+3n) = m+n 2m+3n-(m+n)=m+2n m+2n-(m+n)=n m+n-n=m <m=dm',n=dn', a=ed', b=eb' とする ① は 'd(3m'+4n')=a d(2m'+3n')=b re(3a'-4b')=m e(36'-2a')=n ②は a=bg-r のときも (a, b)=(b, r) が成り立つ。 .501の解説 と同じ要領で証明できる。 は既約分数であることを示せ。 (2) 3n+1と4n+3の最大公約数が5になるような50以下の自然数nは全部で いくつあるか。 Op.514 EX87.88 以下 1 フ r 角 例1 た た x 例2 方 a VE x ア G C Q Ve 3

122.1.ア 記述これでも大丈夫ですか？？

は る)。 D a ある。 pk k 2 2 演習 例題 122 合同式の利用… 累乗の数の余り 合同式を利用して,次のものを求めよ。 (1)(ア) 13109で割った余り (イ) 20002000を12で割った余り[(イ) 早稲田大〕 (2) 472011 の一の位の数 [(2) 類 自治医大 ] p.492 基本事項 ③3 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (mod m), c=d (modm) のとき 3 ac=bd (mod m) 法則 (1) 累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントである。 また, 合同式を利用して,指数の底を小さくしてから,周期性を調べると計算がらくに 注意 α” のα を指数の底という。 なる。 特に, an≡1(mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 ESTAH I 11 (2) ある自然数 N の一の位の数は,Nを10で割ったときの余りに等しい。したがって, 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 ...... 4 自然数nに対し a"=6"(mod m) (ア) 13 4 (mod 9) であり 42=167 (mod 9), 43=64=1 (mod 9 ) ゆえに 41004 (43)33=4(mod9 ) よって13100=41004 (mod9) したがって 求める余りは 4 (イ) 20008 (mod 12) であり 8³ 8.4 8 (mod 12), ゆえに,kを自然数とすると よって したがって、求める余りは 4 477 (mod 10) であり 7³ 9.7 3 (mod 10), 羽 8²=64=4 (mod 12), 84≡(82)2=424(mod 12) 82k=4 (mod12) 20002000 82000=4 (mod 12) 72=49=9 (mod 10), 74=92=1 (mod 10 ) ゆえに よって 72011 (74) 502.73=1502･3=1.3=3 (mod 10) 472011=72011=3 (mod 10) したがって 472011 の一の位の数は 3 CHARO-[0] 13-4=9であるから 13 と4は9を法として合同で あることに着目し, 4” に関 する余りを調べる。 132, 13 を9で割った余り を調べてもよいが, 一般に 42 43 の方がらく。 合同式を利用して、 次のものを求めよ。 2000" の計算は面倒。 2000を12で割った余りは 8であるから, 2000 と8は 12 を法として合同。 したがって, 8" に関する余 りを調べる。 <47=10・4+7 2011=4・502+3 割った余り (イ) 30003000 を14で割った余り BST 495 4章 19 発展合同式 U る。 いる。 2) -1) でる にと は, は, う。 な 満 進 いう。

121.2.イ 解答2行目の「法5と3は互いに素なので」 とはどういうことですか？ 単純に3x≡9 (mod5)が3xと9で約分できる、 という発想ではないということですか？

494 演習 例題 121 合同式の性質の証明と利用 00000 (1) か.492 基本事項の合同式の性質 2、および次の性質を証明せよ。 ただし は整数, m は自然数とする。 5aとが互いに素のとき ax=ay (modm)⇒x=y (modm) (2)次の合同式を満たすxを,それぞれの法mにおいて, x=a(mod m) [a は mより小さい自然数] の形で表せ(これを合同方程式を解くということがある)。 (ア)x+4=2 (mod 6 ) (イ) 3x≡4 (mod 5 ) 指針 pp.492 基本事項 ③3 (mod m) のとき, -■はmの倍数である。 合同式 加法・減法・乗法だけなら普通の数と同じように扱える (イ) 「4 (mod 5) かつ 指針▷ (1) 方針はp.493の証明と同様。 (2) 解答 (1) 2 条件から, a-b=mk,c-d=ml (k, lは整数) と表され 性質を適用する。 が3の倍数」となるような数を見つけ, a=b+mk, c=d+ml よって a-c=(6+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-l ゆえに a-c-(b-d)=m(k-1) (2) (ア) 与式から 5ax=ay (modm) ならば, ax-ay=mk(kは整数)と表 され a(x-y)=mk aとは互いに素であるから x-y=ml (lは整数) よってx=y (mod m) x=2-4 (mod 6 ) 24 (mod6) であるから (イ) 49 (mod5) であるから、与式は 法5と3は互いに素であるから ...... よって a-c=b-d (modm) x=4 (mod 6 ) 3x=9 (mod 5) x=3 (mod 5) の倍数 → = ▲k(kは整数) <pg が互いに素でpk が g の倍数ならば k はgの倍数である。 検討 合同方程式の問題は表を利用すると確実 (2)(イ)については, 次のような表を利用する解答も考えられる。 別解 (イ)x=0, 1,2,3,4について, 3xの値は右の表 のようになる。 3x=4 (mod5) となるのは, x=3のと きであるからx=3 (mod5) 注意 合同式の性質5が利用できるのは, 「aとが互いに素」であるときに限られる。 例えば, 4x=4 (mod6) ① については, 4と法6は互いに素ではないから, ①よりx=1 (mod6) としたら誤り! 性質2。 移項の要領。 -2-4-6 ( 6の倍数) また, 推移律を利用。 性質を利用。 XC 01 2 3 4 3x 0 3 6=1 9=4 12=2 2 表を利用の方針で考えると,右の表からわか るように x=1, 4(mod 6 ) である。 x = (mod m) またはx=6 (modm) を x=a,b (modm)」と表す。] x 0 1 3 4 5 4x 0 4 8=2_12=0_16=4 20=2 漢 練習 (1) p.492 基本事項の合同式の性質 を証明せよ。 ③ 121 (2) 次の合同式を満たすxを, それぞれの法mにおいて, x=a (mod m) の形で 表せ。 ただし, a はより小さい自然数とする。 (ア) x-7=6 (mod 7 ) (イ) 4x5 (mod11) (ウ) 6x=3 (mod 9 ) (1 IC (1) F

121.1 a-c-(b-d)=m(k-l)なら a-c≡b-d (mod m(k-l))になりませんか？？

494 演習 例題 121 合同式の性質の証明と利用 00000 (1) か.492 基本事項の合同式の性質 2、および次の性質を証明せよ。 ただし は整数, m は自然数とする。 5aとが互いに素のとき ax=ay (modm)⇒x=y (modm) (2)次の合同式を満たすxを,それぞれの法mにおいて, x=a(mod m) [a は mより小さい自然数] の形で表せ(これを合同方程式を解くということがある)。 (ア)x+4=2 (mod 6 ) (イ) 3x≡4 (mod 5 ) 指針 pp.492 基本事項 ③3 (mod m) のとき, -■はmの倍数である。 合同式 加法・減法・乗法だけなら普通の数と同じように扱える (イ) 「4 (mod 5) かつ 指針▷ (1) 方針はp.493の証明と同様。 (2) 解答 (1) 2 条件から, a-b=mk,c-d=ml (k, lは整数) と表され 性質を適用する。 が3の倍数」となるような数を見つけ, a=b+mk, c=d+ml よって a-c=(6+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-l ゆえに a-c-(b-d)=m(k-1) (2) (ア) 与式から 5ax=ay (modm) ならば, ax-ay=mk(kは整数)と表 され a(x-y)=mk aとは互いに素であるから x-y=ml (lは整数) よってx=y (mod m) x=2-4 (mod 6 ) 24 (mod6) であるから (イ) 49 (mod5) であるから、与式は 法5と3は互いに素であるから ...... よって a-c=b-d (modm) x=4 (mod 6 ) 3x=9 (mod 5) x=3 (mod 5) の倍数 → = ▲k(kは整数) <pg が互いに素でpk が g の倍数ならば k はgの倍数である。 検討 合同方程式の問題は表を利用すると確実 (2)(イ)については, 次のような表を利用する解答も考えられる。 別解 (イ)x=0, 1,2,3,4について, 3xの値は右の表 のようになる。 3x=4 (mod5) となるのは, x=3のと きであるからx=3 (mod5) 注意 合同式の性質5が利用できるのは, 「aとが互いに素」であるときに限られる。 例えば, 4x=4 (mod6) ① については, 4と法6は互いに素ではないから, ①よりx=1 (mod6) としたら誤り! 性質2。 移項の要領。 -2-4-6 ( 6の倍数) また, 推移律を利用。 性質を利用。 XC 01 2 3 4 3x 0 3 6=1 9=4 12=2 2 表を利用の方針で考えると,右の表からわか るように x=1, 4(mod 6 ) である。 x = (mod m) またはx=6 (modm) を x=a,b (modm)」と表す。] x 0 1 3 4 5 4x 0 4 8=2_12=0_16=4 20=2 漢 練習 (1) p.492 基本事項の合同式の性質 を証明せよ。 ③ 121 (2) 次の合同式を満たすxを, それぞれの法mにおいて, x=a (mod m) の形で 表せ。 ただし, a はより小さい自然数とする。 (ア) x-7=6 (mod 7 ) (イ) 4x5 (mod11) (ウ) 6x=3 (mod 9 ) (1 IC (1) F

合ってますか？空欄のとこは教えて欲しいです

NARU HODO [ []内の動詞を適切な形に変えて ( (1) This is the painting ( ) by Van Gogh. [draw] (2) I think the boy ( standing ) next to Helen must be her new boyfriend. [stand] (3) The cat( ) on the sofa is sleeping well. [lie] (4) I need lettuce, cheese, salt, pepper, and ( (5) Look at that little doll ( ISES に書きましょう。 A the next meeting. ) eggs to make this sandwich. [boil) ) in blue. It is so pretty. [dress] 2 日本語を参考に,( )内に適切な語を入れ, 英文を完成させましょう。AB (1) ポルトガル語はブラジルで話されている言語です。 Portuguese is the (language) ( spoken (2) あそこで手を振っている女性は私の母です。 The woman (waring (3) 東京タワーに行くのにいちばん早い方法は何ですか。 What is the quickest way ( to ) ( get (4) 日本では、少子高齢化社会という問題を抱えています。 We have the problem ) an ( ) in Brazil. ) her hand over there is my mother. in Japan. (5) 何も心配ないと思いますが、念のためテストをしてみましょう。 I don't think there's ( in case. have ) ( to ) ( society( worry ) Tokyo Tower? 3 日本語を参考に,( )内の語句を並べかえ, 英文を完成させましょう。 A B (1) あなたは私と駅で9時に会うという約束を忘れたのですか。 Did you forget your (to / me / promise / the station / meet / at ) at nine? Did you forget your (2) 日本人の監督によって撮られた映画が賞を獲得しました。 The (Japanese / won / movie / a/ by / director/filmed) the prize. The (3) 彼の英語を話す能力は、彼の友人たちすべての称賛の的でした。 His skill at (the admiration / English / of / was / all / speaking / his friends). His skill at (4) 次の会議には3つの検討すべき議題があります。 (topics / examined/ have/we/ be / to / three) at the next meeting. ) about, but let's do a test just ) fewer children at nine? the prize. (中央大学・改) at

英検の英作文の添削をお願いします！！！

I don't think it is beneficial for nakers to change jobs often. I have two reasons. In the first place, they will take a long time to get used to the Tob. If they can't do it, they will cause mistakes. In the second place, their on lautes won't be stable. When they change new job, they get tew salaries. By doing so, they won't live their life with sately about money. Therefore, they shouldn't charge Jobs often!

教えて頂けたら嬉しいです

1 [ (1) (2) ORAMMAR EXERCISES ]内の動詞を適切な形に変えて ( This is the painting ( I think the boy ( The cat ( NARU (3) (4) I need lettuce, cheese, salt. pepper, and ( (5) Look at that little doll ( に書きましょう。 A ) by Van Gogh. [draw] next to Helen must be her new boyfriend. [stand] ) on the sofa is sleeping well. [lie] 2 日本語を参考に、 ( (1) ポルトガル語はブラジルで話されている言語です。 Portuguese is the ( ) ( (2) あそこで手を振っている女性は私の母です。 The woman ( the next meeting. ) in blue. It is so pretty. [dress] ) eggs to make this sandwich. [boil] )内に適切な語を入れ、 英文を完成させましょう。 A B (3) 東京タワーに行くのにいちばん早い方法は何ですか。 What is the quickest way ( (4) 日本では、少子高齢化社会という問題を抱えています。 We have the problem ( ) an ( ) her hand over there is my mother. ) in Brazil. in Japan. (5) 何も心配ないと思いますが、念のためテストをしてみましょう。 I don't think there's ( in case. ) society ( 3 日本語を参考に,( 内の語句を並べかえ, 英文を完成させましょう。AB (1) あなたは私と駅で9時に会うという約束を忘れたのですか｡ Did you forget your (to/me/ promise/ the station / meet / at) at nine? Did you forget your (2) 日本人の監督によって撮られた映画が賞を獲得しました。 The (Japanese / won/movie / a/ by / director / filmed) the prize. The (3) 彼の英語を話す能力は、彼の友人たちすべての称賛の的でした。 His skill at His skill at 4) 次の会議には3つの検討すべき議題があります。 (topics / examined/ have / we / be / to / three) at the next meeting. he admiration / English / of / was / all/speaking/ his friends). (専修大学改) ) Tokyo Tower? ) about, but let's do a test just ) fewer children at nine? the prize. (中央大学改) at

むずくてとけませんでした😭 1から4教えて欲しいです

3 意味の通る英文になるように,( )内の語句を並べかえ, 全文を書きなさい。 (1) Feeling guilty, I could (in / him / look / the eye / hardly ). SH OF med en tromis ei aequl to sopr (2) Having (mistake / my / realized / terrible), I decided to apologize to my colleague. mistake/my/realized/ter to 自治医科大) elanuot bruodai 10 15dmun edI ( 芝浦工業大 ) CL (4) There (any/hardly / hope /is/ of) his succeeding. syual es buidt a juoda at 閉じる (3) My son said (a dreamy / with / something / his face/smile/on). roum an ybuta fin (AT¤Ñ¤) is lack o fani bib yorit en alqooq yas as id [fw godf< yuno (*E**LA)

至急お願いします 教えてください！

4 に適する語を入れて、次の対話文を完成しなさい。 calling, please? (1) A: B: It's me (2) A: Can I take a message? B: (3) A: Do you have Blu-ray disks? B: your grandmother. (4) A: B: " thank you. I'll call again later. They're arriving next week. I'm very Shall I show you that red one? Oh, yes, Thank you.

至急お願いします！！ 高校1年生です。問題は解いたんですけど、applauseの答えが合ってるか分からないので教えてもらいたいです。17ページと23ページです！ 答えわかる方お願いします。

APPLAUSE ENGLISH LOGIC AND EXPRESSION I KAIRYUDO