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例題 234 放物線と接線の囲む面積(2)
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2つの放物線 City=x-5x+7. Caiy=x+3x-1 の両方に接する
直線を e とする.
(1) 直線 l の方程式を求めよ.
(2) 放物線 C, C, と直線lとで囲まれた図形の面積を求めよ. (工学院大)
考え方 (1) CCに接する直線を考え,それが C, にも接することから求める。
(2) グラフをかいて求める部分を確認する.
解答
(1) C:y=x2-5x+7 に接する直線を考える .
接点のx座標を α とおくと, y'=2x-5 より,接線
の方程式は, y-(α-5a+7)=(2α-5)(x-α)
y=(2α-5)x-α+7
この接線がC2:y=x+3x-1 にも接する.
x2+3x-1=(2a-5)x - α+7
x2-2(α-4)x + α-8=0 ...... ①
①の判別式をDとすると,接するから, D=0
01={(α-4)}(a-8)=0 より,
よって、直線lの方程式は, y=x-2
α=3
(2)2つの放物線 C1 C2 と直線lとで囲まれた図形は右
下の図の色をつけた部分である.
C,C2 の交点のx座標は,
x2-5x +7=x2+3x-1 より,
x=1
C と l の接点のx座標は,(1)より
C2 と lの接点のx座標は,
x2+3x-1=x-2より
x=-1
よって,求める面積は,
C, の接線とCの
線が一致するとき
この直線はCと
の両方に接するこ
を利用してもよい。
接点の座標は
(a, a²-5a+7)
yを消去して
のx座標を求める
次方程式を作る。
接する
⇔判別式 D=0
(重解をもつ)
α=3 を接線の方程
式に代入する.
x=3
3
Focus
S_{(x+3x-1)(x-2)}dx
{(x²-5x+7)-(x-2)}dx
=S (x+1)dx+S (x-3)dx
- Bu++ [1-3] - 20+ (-2-15
・(-2)=
16
3
23
23
