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基本例題156 第2次導関数と等式
(1) y=log(1+cosx) のとき, 等式 y' +2e-1/2 = 0 を証明せよ。
2x
(2) y = esinx に対して, y" = ay+by となるような定数α, 6の値を求めよ。
(1) 信州大, (2) 駒澤大]
基本155
指針 第2次導関数 y” を求めるには、 まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに
の恒等式である。
(1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。
また,e-xxで表すには、等式
を利用する。
(2) y',y" を求めて与式に代入し、数値代入法を用いる。
解答
(1) y=2log(1+cosx) であるから
(1+cos x)'
y'=2･
1+cosx
よって
「明したい
また,
y"=_
ゆえに
[1] =)
2{cosx(1+cosx)−sinx(sinx)}
__ ; (1+cosx)
2(1+cosx)
(1+cos x)²
よって+2
Y = log(1+cosx) であるから
2
2
1+cos x
2e-1/12 =
2
y
e2
2sinx
1+cosx
1+cos x
2
1+cosx
......
T
また, x= を代入して
2
_e=1+cosx
(2) y=2e²sinx+e2xcosx=e2x (2sinx+cosx)
y"=2e²x (2 sinx+cos x)+e²x (2 cosx-sinx)
2
1+cos x
=e2x(3sinx+4cosx)
ゆえにのay+by'=aeusinx+be2x(2sinx+cosx)=
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
(2)
y=ay+by' に ① ② を代入して
ex (3
③はxの恒等式であるから, x=0を代入して
(3e¹=e¹(a+26)
= 0
{
sinx+4cosx)=e²x{(a+2b)sinx+bcosx} ....
4=b
00000
<log M = klog M
なお、-1≦cosx≦1と
(真数) > 0 から
1+cosx>0
sin²x+cos²x=1
elogp=pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
267
[]
(²) (2 sinx+cosx))
\ +e2(2sinx+cosx) (S)
これを解いて α=-5,b=4 このとき
(③の右辺)=e^{(−5+2・4)sinx+4cosx}= (③の左辺) 逆の確認
CHUO
したがって
a=-5,6=4
1 2 高次導関数 関数のいろいろな表し方と導関数
5章
22
[参考] (2) のy=ay+by' の
ように、未知の関数の導関数
を含む等式を微分方程式と
いう(詳しくは p. 473 参照)。
③が恒等式⇒③にx=0,
π を代入しても成り立つ。
2
[3][1
練習
(1) y=log(x+√x2+1) のとき, 等式(x+1)y"+xy = 0 を証明せよ。
3
156 (2) yeaste* y " +ay'+by=0 を満たすとき,定数a,b の値を求めよ。
2010 (1) 首都大東京, (2) 大阪工大] (p.275 EX131~1330
