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基本例題 96 2次方程式の解の存在範囲 (1)
2次方程式
の範囲を求めよ。
(1) 異なる2つの正の解
解答
が次のような解をもつとき,定数aの値
(a-1)x+a+2=0
(2) 正の解と負の解
CHART & SOLUTION
2次方程式の解と0との大小 グラフをイメージ]
D, 軸, f(0) の符号に着目
方程式 f(x)=0 の実数解は, y=f(x)のグラフとx軸の共有点のx座標で表される。
f(x)=x²-(a-1)x+a+2 とすると, y=f(x) のグラフは下に凸の放物線である。
(1) D>0, (軸の位置) > 0, (0) > 0 (2) f(0)<0 ******!
を満たすようなαの値の範囲を求める。 なお, (2) で D>0 を示す必要はない。
下に凸の放物線が負の値をとるとき, 必然的にx軸と異なる2点で交わる。
f(x)=x2-(a-1)x+α+2 とすると, y=f(x) のグラフは
下に凸の放物線で, その軸は直線 x=-
= -1 である。
2
(1) 方程式f(x)=0が異なる2つの正解をもつための条
件は, y=f(x) のグラフがx軸の正の部分と、 異なる2点
で交わることである。 よって, f(x)=0 の判別式をDとす
ると,次のことが同時に成り立つ。
[1] D > 0
[2] 軸が x>0 の範囲にある
[3] f(0)>0
[1] D={-(a-1)}2-4・1・(a+2)=α-6a-7
よって
=(a+1)(a-7) D> 0 から (a+1)(a-7) > 0
a<-1, 7<a ...... 0
a-1
[2] > 0 から
a>1
②
2
[3] f(0)=a+2
f(0) > 0 から a+2>0
よって
a>-2
...... 3
① ② ③ の共通範囲を求めて a>7
(2) 方程式 f(x)=0 が正解と負の解をもつための条件は,
y=f(x) のグラフがx軸の正の部分と負の部分で交わる
ことであるから
f(0) <0
よって a+2<0
したがって a<-2
-(1)
p.146 基本事項 3
◆軸はx=-
(1)\y(軸)>0
f(0)
+
0
-2-1 1
(2) AY
20
f(0)
-(a-1)
2･1
HY
x
