写真1枚目上部にある疑問点についてお答えしていただきたいです。（詳しくは2枚目にあります。）　 また写真1枚目下部の　？　をつけているところの説明がよくわかりません。不等式でよく言われる式に全部等号つけるのはいいけど全部不等号にするのはだめだよね的なことでしょうか？

例題103 文字係数の2次不等式の解 次のxについての不等式を解け。ただし, x-(a+a)x+a'≤0 は定数とする。 基本 31.87,88 重要 105 HART SOLUTION 係数に文字を含む2次不等式 2次方程式の解の大小関係に注意して場合分け 左辺は因数分解できて (x-a)(x-a)≤0 <βのとき (xa)(x-3) ここではα,Bがともにαの式で表されるから,ととの大小関係で場合が分かれる。 解答 不等式から x²-(a+a)x+ a³ ≤0 したがって (x-a)(x-2)≦0 ④ [1] a<a のとき a²-a>0 5 a(a-1)>0 よって a≤0, 1<a このとき、①の解は a≤x≤a² なぜa-acoでは だめなのか ① [2] a=a' のとき a²-a=0 5 よって α=0 のとき a=1のとき ■ [3] a>αのとき a²-a<0 5 a(a-1)=0 a=0,1 ①はx0 となり ①は (x-1)2≧0となり ala-1)<0 x=0 x=1 3 11 2 たすき掛けを利用すると 次 -a 不 -a²-a² 1 a³ -(a²+a) I αの値を ① に代入。 (x)20を満たす解 はxのみ。 よって 0<a<1 このとき,①の解は a² ≤ x ≤a 以上から 0<a <1 のとき a²≤x≤a a=0 のとき x=0 α=1のとき x=1 a < 0, 1 <α のとき x 0≦x≦ x = 0, 1≦x1 は x=1 を表すから,解は ≦a≦のとき a²≤x≤a α < 0, 1 <a のとき a≤x≤a² と書いてもよい。

分数の数列の和について質問です。 (1)では赤線部のところはkにn－1、n、を代入してるのに (2)ではkにn－2、n－1、nを代入してるのは何故ですか？

(1) 次の和を求めよ。 ただし, (2) では n≧2 とする。 1 n 2 (2) k=1vk+2+√k+1 k=i(k+1)(+3) CHART & SOLUTION 分数の数列の和差の形を作り途中を消す 分母の有理化, 部分分数に分解を利用 (1) 第項の分母を有理化して差の形を作る。 (2) 第k項を部分分数に分ける。 解答 (1) 1 ⑩√k + 2 + √ +1 √k+2-√k+1 基本21 (√k+2+√k+1)(√k+2-√k+1) 第項の分母を有理化 する。 √k+2-√k+1 = =√k+2-√k+1 分母は (k+2)-(k+1) であるから n 1 n 8+(F- √k+2+√k+1 = Ž (√k+2−√k+1) k=11 k=1 =(√3-√2)+(4-3)+(√3-√4) =√n+2-√2 (√k+2)-(vk+1)^ =(k+2)-(k+1) +....+(n+1)+(√n+2-yn+1)第(n-1)項は √n+1-√n 2 (2) = 11 (k+1)(k+3) k+1 k+3 n≧2のとき n 2 k=1 (k+1)(k+3) であるから n 1 = k=1k+1 k+3 1 =(1/1)+(1/3)+(1/1) = 6 n+2. n+1 n+3/ + .......+ n+1 12 1 1 1 + n(5n+13) -3 n+2 n+3 6(n+2)(n+3) る。 第項を部分分数に分け と変形。 (k+3)-(k+1) (k+1)(k+3) 消し合う項がはなれて いることに注意。

Pnが近づく点を求めたいのにXnの極限を求めているのがなぜだかわかりません。解説お願いします。

重要 例題 24 図形に関する漸化式と極限 R1 図のような1辺の長さαの正三角形ABCにおいて, 頂点 CA Aから辺BCに下ろした垂線の足を とする。 P, から辺 ABに下ろした垂線の足を Q1, Q1 から辺CAへの垂線の 足を R1, R1 から辺BCへの垂線の足をP2 とする。 このよ うな操作を繰り返すと, 辺BC上に点P1, P2, ......, Pn, h が定まる。このとき, Pn が近づいていく点を求めよ。 MOITLE B P1 P2 C 2章 基本 19. 数学 B 基本 36 3 CHART & SOLUTION 図形と極限 番目と (n+1) 番目の関係を調べて漸化式を作る ) BP=xm として, BP1 (すなわち X+1) を X で表す。 直角三角形の辺の比を利用して進 める。 3D 数列の極限 解答 である。 BP=xn とする。 すべての BQn=BP =1/2BP=1/2x ARn= AR,1/12AQ=1/2(4-1/2) CRn=CA-ARn=a- 1a -Xn 1 a -Xn, CPCR.-(+)-+ = = 2 2 = 4 8 3 BP+1=BC-CP+1-a-(+ 1/1 x n ) = 1 / a − 1/1 x n n+ -a 4 8 - x n X T F xn 0-2 A xn a 1 xnl + 2 4 xn] [2] [1xuiQm 2:0 B Xn JR P/P+1 a-(a) xn-ti 4 そのままでもOK. 1 13 2 2 ゆえに Xn+1= xn+ 変形すると Xn+1 =- 8 04 a Xn 3 よって、数列{ x /12/24}は初項 x 1/34, 2 -BR== a 3a a, a= 2 公比 E-1の等比数列であり Xn 8 3 n-1 ga 8 1/4+24 の解は α = 1/24 xn-a=(-1) ( x − a) xn- 3 = 2 n-1/ ゆえに xn= (12/12)(3)+3/31 よって - -a+ X1 n→∞ = ga したがって, Pnが近づいていく点は辺BC を2:1に内分する点である。 -a ma limx=2大 mil (S) 子点と

この問題の解答の ＋3/4b^2ー6/4bc＋3/4Ｃ^2 の部分はどういう計算で求めるんですか？ どうやって3/4とか6/4になるんでしょうか

9 56 重要 例題 33 3 文字の不等式の 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなときか。 a+b+c°ab+bc+ca HART & SOLUTION 00 2次の不等式の証明(実数)2≧0 を利用 ****** ① a,b,cが実数であるとき, a≧0,'+62≧0,'+62c220 が成り立つ。 また,(実数)2=0 となるのは,その実数が0のときに限られる。 2 基本 次式の場合は、まず差を作って、1文字について平方完成し、残りの文字について平方法 成することにより(2+()の形に変形する。 Eatics 別解のように, x-2xy+y=(x-y) を使えるように式変形し, 証明する方法もある。 力で思いつくのは難しいので、この解法は覚えておこう。 解答 (a+b2+c2)-(ab+bc+ca) =α²-(b+c)a+b2-bc+c2 6+c\2 -(a-b+c)² - (b+c)²+b²-bc+c 2 2 2 - ( a − b + c )² + 23/18²-06 b c + 3/20² 2 3 4 4 - (a−b+c)² + (b²-2bc+c³) = 2 3 -(a-b+c)+(-20) ① D-S ← αについての2次 みて、 基本形に変形 -5)++ (a = b+c)² z (b-c)2≧0から。 よって a+b2+c≧ab+bc+ca 3 b+c 等号が成り立つのは、α=- 2 かつ b=c すなわち d4 a=b=c のときである。

この問題の解説部分で、①の計算って比を求めるためと、an+1とanの関係を調べるためであって②の相似条件の証明ではないですよね？

例題 36 図形と漸化式 (2) 右の図において, XOY = 30°, OA」=2, OBとする。 ∠XOY の2辺OX, OY上にそれぞれ点A2, A3, ......および点 を, 「B1A2, B2A3, B3A4, B2, B3, はすべて OX に垂直であり A2Bz, A3B3, B, 00000 Y Vē B 30° AAA2 e ・・・・・・ はすべてOY に垂直」 であるようにとる。 △ABA+1の面積を an とするとき, 数列{an}の,初項から第n項までの和 を求めよ。 基本 29.35 CHART & SOLUTION 多角形→相似比 円の時中心間の距離、三平方の定理 前ページの例題と同様に, αn と αn+」 の関係について考える。 △A+B+1 A+260△ABA+1, 「相似な図形の面積比は,相似比の2乗に等しい」を利用 する。 解答 60° 90° であるから √3 ① よって /3 2 △A1BB+1, BAA+1 はともに, 3つの内角が30℃ An+1B+1= An+1Bn, An+1Bn= = -AnBn 2 An+1Bn+1= (√3)A.B.-A.B. 4 A+B+1A+2 AB,An+1 であるから √3 2 B. 9 Bx+1 an+1= an= -an 16 a1= また、21-12AWASABI-1121-1 より 数列 30° 11/3_3 0 = A2 A1 A 8 {a} は初項 √3 3 A+B+1=2A,B, から, 9 4 公比 8 16 の等比数列であるから, 求める和は 相似比は4:1 1 3 9 ゆえに、面積比は 8 16 2√3 9 9 1- 16 (2):1 16

黄チャートの数Iの因数分解（3次式）のところで、画像の青いマーカーを引いている部分がなぜ必要なのかわかりません。教えてほしいです🙇‍♀️

重要 例題 19 因数分解 (3次式) 00000 (1)a°+6=(a+b)3-3ab(a+b)であることを用いて,+b+c-3abc を因数分解せよ。 (2)x-3xy+y+1 を因数分解せよ。 CHART & SOLUTION 3次式の因数分解 (1) 組み合わせを工夫して共通因数を作る。 人外 まず,+6について '+6=(a+b)3-3ab (a+b) を用いて変形すると a+b+c-3abc=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc 次に,(a+b)+cについて, a +6を1つの文字とみて (a+b)+c={(a+b)+c}{(a+b)-(a+b)c+c2} 基本11 また,-3ab(a+b)-3abc=-3ab(a+b+c) であるから, 共通因数α+b+cが現れる。 (2) 11° と考えると, (1) の結果が利用できる。

基本例題40では、同じ1でも1a1b1cのように区別しているので、基本例題41(2)でも(1、1、1)をそれぞれ区別し、3！というふうにするのかと思いましたが、間違っていました。何がいけないのでしょうか。確率では同じようなものも区別しろというふうに習ったのに😭

322 基本 例題 40 一般の和事象の確率 00000 1から9までの番号札が各数字3枚ずつ計27枚ある。 札をよくかき混ぜて から2枚取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1) 2枚が同じ数字である確率 (2)2枚が同じ数字であるか, 2枚の数字の和が5以下である確率 CHART & SOLUTION 313 基本事項 基本 (1)1 電 (2) a X CHAL 一般の和事象の確率 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) (2) 2枚が同じ数字であるという事象をA, 2枚の数字の和が5以下であるという事象を Bとすると, AとBは互いに排反ではない。 事象 A∩B が起こるのは, 2数の組が (1,1) (22)のときである。 ( 解答 27枚の札の中から2枚の札を取り出す方法は 27C2=351 (通り) (1)2枚の札が同じ数字であるという事象をAとする。 取り出した2枚が同じ数字であるのは,同じ数字の3枚か ら2枚を取り出すときであるから,その場合の数は 「少な (1) 「 (2) 「X 「X 一答 (1) 15 A: 象 ←n(U) よっ 9×3C2=27 (通り) ◆同じ数字となる数字は (2) A よって、求める確率 P(A) は 1 P(A)= 27 1 1~9の9通り。 [1] = 351 13 (2)2枚の札の数字の和が5以下であるという事象をBとする。 2枚の数字の和が5以下である数の組は、次の6通りである。 {1, 1}, {1, 2},{1,3}, {1, 4},{2,2}, {2,3} ゆえに、その場合の数は 2 ×3C2+4×3C ×3C =42(通り) また、2枚が同じ数字で,かつ2枚の数字の和が5以下で あるような数の組は {1, 1}, {2, 2} だけであるから n(A∩B)=2×3C2=6(通り) ← {1,1,2,2)がそれぞ [2] 2 目の 3C2通り。残り4つの 場合がそれぞれ よっ ! CXC通り。 よって、求める確率 P(AUB) は P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 27 42 6 63 7 = + 351 351 351 351 39 ←P(A∩B)=(A∩B) n(U) 213 PRACTICE 40° 2個のさいころを同時に投げるとき, 出る目の最小値が3となるか,または, の最大値が4となる確率を求めよ。 出る目 PRAC (1) 当 (2) 2 め

この問題で矢印のところがわかりません。 教えてください🙇‍♀️

基本 例題 31 an+1=pan+(nの1次式) 型の漸化式 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a1=3, an+1=2an-n CHART & SOLUTION 漸化式 α+1=pan+(nの1次式)(カキ1) A 00000 ① 階差数列の利用 ② an+1-f(n+1)=p{an-f(n)} と変形 ②の変形については右ページのズーム UP を参照。 下の解答は1の方針による解法で,別解は2の方針による解法である。 解答 基本 29 30 辺々引いて an+2=2an+1-(n+1), an+1=2an-n an+2-an+1=2(an+1-an)-1 bn=an-an とおくと 6+1=26-1 ...... ① また b1=a2-α= (2・3-1)-3=2 ①から bn+1-1=2(6-1) 更に b1-1=1 ゆえに、数列{bm-1}は初項1, 公比2の等比数列となり bm-1=1・2月-1 すなわち 6n=2"-1+1 よって, n≧2 のとき n-1 an=a1+(2-1+1)=3+ k=1 =2"-1+n+1 2-1-1 2-1+(n-1) a = 3 であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。 したがって α=21+n+1 別解 an+1=2ann を変形すると 与えられた漸化式で n+1とおく。 α=2α-1 を解くと a=1 inf. bn=2"-1+1 を求め した後は an+1=2ann lan+1-an=2"-1+1 から αn+1 を消去して an=2"-1+n+1 と求めてもよい。 ← n=1 とすると 2°+1+1=3 an+1-(n+2)=2{an-(n+1)} また a₁-(1+1)=3-2=1 この変形については右 ページのズーム UP を 参照。 ゆえに、数列{an- (n+1)} は,初項1 公比2の等比数列 となり an-(n+1)=1・2"-1 したがって α=2"+n+1

（2）の解説の赤線のところなんでそうなるんですか！！ なぜ360－βが∠Aの2倍なんですか🙇‍♂️

366 基本 例題 66 三角形の外心 (1) △ABCの外心をOとする。 7700 B 右の図の角α, β を求めよ。 La 20°/3° 20°- B C B 0 p.362 基本事項 3 CHART & SOLUTION 三角形の外心 かくれている二等辺三角形を見つける 三角形の外心(外接円の中心)が3つの頂点から等距離にあることを利用。 例えば,(1)にお いて OA=OBであり,OABはOA=OBの二等辺三角形となる。 (2) では,外接円を考 え、円周角の定理を利用する。 解答 (1)∠OAB=∠OBA=20° であるから (1) OA = OB ZOAC=50° よって α=∠OAC=50° 70% A ∠OBC=∠OCB=β であるから ゆえに B=20° 別解 (後半) ∠BOC=2∠BAC=140° ∠OBC=∠OCB=β であるから 20°- O a OB=OC 20°+70°+50°+2β=180° B B B BA 180°-140° B= -=20° 2 (2) ∠BAC=180°(20°+30°)=130° よって ゆえに 360°-β=2∠BAC=260° B=100° ZOBC=∠OCB=αであるから (2) 20° B La a= 180°-B=40° 2 円周角の定理を利用。 (中心角) = (円周角)×2 ABAD A 30° C 円周角の定理 OB = OC

（2）と（3）の問題の赤線引いたところってなんの数字ですか？ （2）だったら、隣合う数字1と2それぞれを当てはめたら残り3枚だから3!じゃないんですか？🙇‍♂️

326 重要 例題 43 和事象 ・ 余事象の利用 カードが7枚ある。 4枚にはそれぞれ赤色で1,2,3,4の数字が、 枚にはそれぞれ黒色で0.1.2の数字が1つずつ書かれている。 これらのカードをよく混ぜてから横に1列に並べたとき (1)赤,黒2色が交互に並んでいる確率を求めよ。 (2) 同じ数字はすべて隣り合っている確率を求めよ。 (3)同じ数字はどれも隣り合っていない確率を求めよ。 CHART & SOLUTION 残りの3 [関西]基本12 「どれも~でない」にはド・モルガンの法則の利用 (3) A:赤 1, 黒1が隣り合う, B:赤2, 黒2が隣り合う として, n(A∩B) を求める その際 (2) と次の関係を利用。 n(A∩B)=n(AUB)=n(U)-n(AUB) =n(U)-{n(A)+n(B)-n (A∩B)} 解答 7枚のカードを1列に並べる方法は 7!通り (1) 赤,黒のカードを交互に並べる方法は 4!×3! 通り (1) 赤のカード4枚の間の よって、求める確率は 4!×3! 3・2・1 7! 1 7.6.5 35 (2) 赤の1と黒の1, 赤の2と黒の2がいずれも隣り合う並 べ方は5!×2!×2!通りであるから、求める確率は 7! 7.6 _5!×2!×2!_21×2・1 2 21 (3)全事象を U 赤の1と黒の1が隣り合うという事象をA, 赤の2と黒の2が隣り合うという事象をBとする。 n(ANB)=n(AUB)=n(U)-n(AUB)(6) 3個の場所に黒のカード を並べる。 4!×3! は積の法則。 (2)同じ数字は1と2のみ 隣接するものは先に枠に 入れて、枠の中で動かす。 とう 02 ◆ド・モルガンの法則 ANB=AUB 人の =n(U)-(n(A)+n(B)-n(ANB)} ここで n(A)=n(B)=6!×2! また,(2)から n (A∩B)=5!×2!×2! ゆえに (A∩B)=7!-(2×6!×2!!×2!×2!7!=425! 目 =22.5! 2×6!×2!=24・5! よって、求める確率は n(A∩B)_22.5! 11 5!×2!×2!=4・5! n(U) 7! 21 la A E