赤枠の式変形がどうなってるのかよくわかりません。 教えていただきたいです！よろしくお願いします

指針 (1) 大小比較は差を作 として証明に利用する。 (2) (1)と同じように大小比較をしてもよいが (1) そこで、似た問題は結果を利用の方針でいく。 (3) 本問では, (2) を証明するために, (2) の簡単な場合の設問 (1) がある。すなわち、()が ヒントになっているともいえる。 (1) azb, x≧y であるから 2(ax+by)-(a+b)(x+y) =ax+by-ay-bx=a(x-y)-b(x-y) よって 2(ax+by)=(a+b)(x+y) (2) (1) と同様にして、abcxyz であるから b²c, y2zt³5 2(by+cz) ≥(b+c)(y+z) azc, xzzb5 2(ax+cz)=(a+c)(x+z) ① ② ③の辺々を加えて 2(ax+by)+2(bv+cz) + 2(x+cz) ≥(a+b)(x+y)+(b+c)(y+z)+(a+c)(x+z) よって =(a−b)(x-y)≥0 すなわち ...... =(a+b)(x+y)+b(y+z)+c(y+z)+a(x+2)+c(x+z) =(a+b)(x+y)+(a+b)z+c(x+y+z)+(ax+by+cz) =(a+b)(x+y+z)+c(x+y+z)+(ax+by+cz) =(a+b+c)(x+y+z)+(ax+by+cz) ...... 4(ax+by+cz)²(a+b+c)(x+y+z)+(ax+by+cz) 練習 (1) 次の不等式を証明せよ。 30 (a+b+c)(x+y+z) ≤3(ax+by+cz) 3 (7) a²+b²+c² ≥ab+bc+ca (2) 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 x () x≧0、y≧0,220のとき + 1+x x+y (ア) x≧0、y≧0のときx+ity itxty y 1+y ・+ で形は (右辺) (左辺)≧0を ◄a-b≥0, x-y²0 等号は a = b または のとき成立。 (2) (右辺) (左辺) いくと, 差は (1) a+b+c¹≥abc(a+b (a-b) (x-y) +(b-c)(y-2) +(c-a)(z-x) と変形でき 注意 (2) の不等式につい ｢α = b または x= 「b=c またはy= c=aまたはz= 等号が成り立つ a=b=cまたは 等号の成立条件 2 1+2 N x+y+ 1+x+y

aが0で、y＝bの場合ってどうしますか？

重要 例題 109 正領域・負領域の考え *#8000000 直線y=ax+b が,2点A(-3,2),B(2,-3) を結ぶ線分と共有点をもつ 基本106 ようなa,b の条件を求め,それを ab平面上の領域として表せ。 CHART OLUTION 直線y=ax+b と線分ABが1 点で交わる (点A,Bを除く) と き, 右の図からわかるように, 2 点A,Bは,直線y=ax+6 に 関して反対側にあるから, 2点 A,Bの 一方が 他方がy <ax+bの表す領域 にある。このことから, AとBの座標をy=ax+bのx,yに代入したものを えるとよい。なお,点Aまたは点Bがy=ax+b 上にある場合も含まれること に注意する。 の表す領域, y>ax+b yax+by AS または 司値である。 って、求める領域は図の斜線部分。 だし, 境界線を含む。 0 ・B y<ax+b 解答 直線l:y=ax+6が線分 AB と共有点をもつのは,次の [1] または [2] の場合である。 1] 点Aが直線l上の点を含む上側, 点Bが直線l上の点を 含む下側にある。 その条件は 2-3a+b かつ -3≦2a+b 2] 点Aが直線l上の点を含む下側, 点Bが直線l上の点を 含む上側にある。 その条件は 2≦-3a+b かつ -3≧2a+b める α, 6 の条件は、①,②から, b≤3a+2 b≧-2a-3 b≥3a+2 b≦-2a-3 ...... (2) 2 X -3 AL y<ax+b A y>ax+b O [2] YA 2 $801 •B O x [[1] 2 -3 B inf. 一方が正領域または 境界線上,他方が負領域ま たは境界線上にあればよい から, f(x, y)=ax-y+b. として, f(-3, 2).f(2,-3)≦0 と考えることもできる。 αb平面とは,横軸に a の値をとるα軸、縦軸に bの値をとるb軸による 座標平面のことである。

写真の(3)の別解についてですが、なぜBCの垂直二等分線上に円の中心があるといえるのですか？ また、ACの垂直二等分線上ではダメなのですか？

39円の方程式 次の円の方程式を求めよ. (1) 点 (2, 1) を中心とし, 点 (1,4)を通る (2 (3 精講 -8) を直径の両端とする円 2点(3,2),(5, (0, 4),(3,1),(1,1)を通る円 3点 円の方程式を求めるときは、与えられた条件によって次のどち の設定でスタートします。 Ⅰ. 中心 (α, 6) や, 半径rがわかるとき (x-a)+(y-b)²=r² ⅡI. 中心も, 半径もわかりそうにないとき x2+y²+ax+by+c = 0 (1) 求める円の半径は √(2-1)^²+(1-4)²=√10 よって, 求める円の方程式は (x-2)^2+(y-1)²=10 (2) 中心は, (32) (58) を結ぶ線分の中点だから (4,-3) また,半径は√(4-3)²+(-3-2)^²=√26 よって, 求める円の方程式は (x-4)²+(y+3)²=26 (3) 求める円を'+y^+ax+by+c=0 とおく. 3点 (0, 4),(3,1), (11) を代入して 4b+c+16=0 3a+b+c+10=0 ...... ② la+b+c+2=0 -3 ②-③ より α=-4 解答 (1-2)^2+(1-p)^=r ①③ より b=-6 これと① より c=8 よって, 求める円の方程式は x2+y²-4x-6y+8=0 (別解) (右図をよく見ると••••••) A(0, 4), B(3, 1), C(1, 1) とおくと,中心は線分BCの垂直二等分線上に あるので、中心は D (2, p) とおけて、半径を とすると AD=r, CD = r だから, d 22+(p-4)²=² ①-② より, p=3 よって, 求める円の方程式は (x-2)2+(y-3)²=5 ***** ²=5 2点間の距離 34 44 1 0 C +D(2.p) 1 2 <中心も半径も そうにないの B 3 (1.4) [²-8p+20=².......① lp2-2p+2=²...... ② (2,1) 63 注 (3) のように, 見かけは中心, 半径がわからないように見えても, 図 をかくと様々な性質が見えることがありますから,図をかく習慣をつ けておくことが大切です. S ポイント 円の方程式を求めるとき, 状況をみて、 次の2つのど ちらかでスタートをきる ①)²+(n-b)^²=r²

写真の(3)のような3点を通る問題を一般形ではなく、基本形から展開して解くことって可能ですか？ (よければ計算の方もおねがいします…)

39 円の方程式 次の円の方程式を求めよ. (1) 点 (2,1)を中心とし, 点 (1,4)を通る円 (2 (32) (5, -8) を直径の両端とする円 2点 (3) 3点 (0, 4), (3, 1), (1, 1) を通る円 精講 円の方程式を求めるときは、与えられた条件によって次のどち の設定でスタートします。 Ⅰ. 中心 (a,b) や, 半径rがわかるとき (x-a)²+(y-b)²=² ⅡI. 中心も, 半径もわかりそうにないとき x2+y²+ax+by+c = 0 (1) 求める円の半径は 解答 √(2-1)²+(1-4)²=√10 よって, 求める円の方程式は (x-2)²+(y-1)²=10 (2) 中心は, (3,2), (58) を結ぶ線分の中点だから (4, -3) また,半径は√(4-3)²+(-3-2)^=√26 よって, 求める円の方程式は 2点間の距離 (x-4)²+(y+3)²=26 (3) 求める円を'+y^+ax+by+c=0 とおく. ①③' より b=6 これと①より c=8 よって, 求める円の方程式は x2+y²-4x-6y+8= 0 3点 (0, 4),(3, 1),(1, 1) を代入して | 46+c+16=0 ....... ① 3a+b+c+100 ...... ② la+b+c+2=0 ... ③ ②③ より α=-4 YA (1.4) (2.1) <中心も半径もわかり そうにないので 63 01

数1の二次関数についてです。 平方完成の式がのっていたのですが、-a(b/2a)²+cから-b²-4ac/4aへの変形の仕方が分かりません。 教えていただきたいです🙇‍♀️

解説 ■2次関数y=ax+bx+cのグラフ 2次式 ax2+bx+c を,次のようにa(x-p)' +gの形に変形して (平方完成するという) グラフをかく。 y=ax²+bx+c = a(x² + ²x)+c b ={x+2x+(2)-(2)+c a {x²+2. b 2a b b b -a[x²+2- 2x + ( 2 ) ²-a (2²)+c x2+2・ 2a 2a = a (x + 2)²-5²-40 b 62-4ac 2a 4a = 2a b 2a 2a Laを忘れずに! th+12 CO ◄a (0) Cax²+bx をくくる。 <xの係数 の半分 a b の平方 (12) b 2a を加えて引く。

最後の黒線で引いたところの計算が分かりません。

00000 基本例題 126 連立漸化式 (2) 数列{an}, {bn}をa=1, b,=-1, an+1=54-4b, bn+1=an+bnで定めるとき (1) an+1+xbx+1=y(an+xb²)を満たすx,yの値を求めよ。 (2) 数列{an}, {bn}の一般項を求めよ。 指針 p.575 基本例題 125 (1) と同様に, 〔解法1] 「等比数列を利用」の方針によって解けばよい。 an+xb.=(a+xbi)y (2) (1) から 数列 (an+xb.) は公比yの等比数列となり これに α = bats-b を代入し, an を消去すると bn+1=(1-x) b.+ (②2+xbi)y"-1 ① += pa.+α型の化式 (p.564 基本例題118) に帰着。・････... よって, ① の両辺をy"+ で割ればよい。 解答 (1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(an+bn) =(5+x)an+(-4+x)bn よって, an+1+xbn+1 = y (an+xbm) とすると (5+x)an+(-4+x)bm=yan+xybn これがすべてのnについて成り立つための条件は 5+x=y, -4+x=xy 5+x=yを4+x=xy に代入して整理すると x2+4x+4=0 ゆえに x=-2 したがって 求めるx, yの値は (2) (1) から これに α = bn+1- 6m を代入すると bn+1=36+3 an-2bm=3.3"-1 = 3" すなわちa=26+3 & HA ***** an+1=b+2-bati これらを①に代入して bn+2-6b+1+9bn=0 特性方程式 解くとx=3 (重解) an+1-2bn+1=3(an-2bn) よって, p.573 基本例題124 よって, 数列{an-26 ) は,初項α-26, 3, 公比3の等比 と同じ方針で、 まず一般項b 数列であるから月 を求める。 x=-2, y=3 3¹ bn 3" bn+1 bn 1 3+1 3" 3 両辺を 3 +1 で割ると b₁ 数列{2}は,初項 12/1=11/11/13 公差 1/1/3の等差数列で =. + あるから --1/3+(n-1)-1-12 . よって 基本118,125 an=3"-¹(2n-1), b=3"-¹(n-2) [[解法2] [1つの数列 に関する漸化式に帰着させ る] の方針による解答 an+1=5an-4bx bsity=ax+bn ② から an=b+1-bs. ****** ② 6x+9= 0 を 44,00 Jr! <an+1=pan+g型は両辺を g" +1 で割る(p.564 参照)。 a=26+3" に代入 (基 1

数1の夏休みの宿題で分からないとこがあります。 解説がないので誰か教えてください。 よろしくお願い致します🙏

26 関数y=ax+b(-2≦x≦3) の値域が, -3≦y≤7 となるような定数a,bの値 を求めよ。 解答 a=2, b=1 またはa=-2, b=3

やり方が分かりません。分かる方は教えてくれませんか？

⑥ 方程式 3x−2=5x+4 を解きなさい。 4 3 (計算) 22 JT (答)

「このとき、①と②の定義域はともにx≠-aとなり一致する」というのはなぜ分かるんですか？

基本例題 96 . 6は定数で, ab=1 とする。 関数 y=- a, と一致するための条件を求めよ。 逆関数がもとの関数と一致する条件 (金) 6x+1 x+a 指針2つのxの関数f(x),g(x) が一致する等しい)とは [1] 定義域が一致する 解答 bx+1 b(x+a)+1-ab 1-ab x+a x+a x+ta したがって, ① の値域は ①からy(x+α)=bx+1 y=6であるから x= よって ① の逆関数は [2] 定義域のすべてのxの値に対して f(x)=g(x) が成り立つことである。この問題では,f'(x)=f(x) が定義域で恒等式となる ための必要十分条件を求める。 AGRI y=6 練習 €96 ay+1 y-6 y= afa ゆえに x(y-b)=-ay+1 - (2 (x+2) ( -ax+1 x-b ①と②が一致するための条件は, がxの恒等式となることである。 ③の分母を払って同ら +6 TE 0000 ①の逆関数が,もとの関数 [奈良大] (x+b) 0(150A+ -₂)(x + a)(x-²)(x+b bx+1=ax+1 x+ax-b 基本95 (x)=(1-v=f(x)=f(x)であるとき, 2 f(x) の定義域xキーがニエ x=bに一致するから a=b (必要条件) _=ax+1 f(x) = - このとき, x+a の逆関数はf(x) に一致する (十分条件)。 ( 別解 定義域が一致すること に着目した解法。 bx+1 f(x)= とする。 x+a f(x) の値域はy=6であるか ら,逆関数f'(x) の定義域は (bx+1)(x-b)=(-ax+1)(x+α) (a+b){x2+(a-b)x-1}=0 xについて整理すると これがxの恒等式であるから a+b=0 (すなわち b=-α) このとき、①と②の定義域はともにxキーαとなり一致する。この確認を忘れずに! [S] THE SE 1+1-8-1_20≤(1) [8] 検討 「1対1の関数」という表現について 関数 y=f(x) において、 異なるxの値に対し、異なるyの値が対応しているとき [すなわち x2 ならばf(x)=f(x2)のとき] 関数f(x) は1対1であるという。 f(x) が1対1の関数であるとき, f(x) の逆関数が存在する なお、上の例題の ab≠1という条件は、関数 ① が1対1であるためのものである。もし､ 167 ab=1 とすると y=b (定数関数)となり, ①は1対1の関数ではなくなるから,逆関数は存在し ないことになる。 本/Bat 280x) 8+³x − −−x 3 A+x8 — \ −e (1) a≠0 とする。関数f(x)=2ax-5a²について,-'(x)とf(x)が一致するよ うな定数αの値を求めよ。 DOL (2)関数y=ax+b x+2 ( b2a) のグラフは点 (1,1)を通り,また,この関数の逆関 数はもとの関数と一致する。 定数 α, b の値を求めよ。 [(2) 文化女子大] (p. 172 EX72, 73 章 3 逆関数と合成関数 3章 13

(2)についてです。 どうして答えは共通範囲なのでしょうか？？ -2＜m＜0 ではだめな理由を教えていただきたいです。

166 すべての実数に対して2次不等式が成り立つ条件 (絶対不等式) 発展例題 103 * 基礎例題 94 基礎例題 96 mの値 (1) センター試 すべての実数xについて、次の2次不等式が成り立つような定数 範囲を求めよ｡ (2) mx²+4x-2<0 (1) x² +mx+3m-5>0 CHART 「常に ax+bx+c> 0 が成り立つa> かつD< 常に ax+bx+c< 0 が成り立つ a<0 かつ D<0 「すべての実数xについて、2次不等式 ax²+bx+c>0 が成り立つ」とは、 「2次関数y=ax+bx+c のグラフが常にx軸より上側にある」ということ → <0 の場合も、同様に考えて 「グラフが常にx軸より下側にある｣ グラフは上に凸(a<!) で, x軸と共有点がない ( D < 0) GUIDE x軸と共有点がない (D<0) グラフは下に凸(②①)で, 解答 (1) y=x²+mx+3m-5 ① とする。 ²の係数は正であるから、①のグラフは下に凸の放物線であ る。 すべての実数xについて, 不等式 x2+mx+3m-5>0 が成り立つための条件は、 ①のグラフが常にx軸より上側に あることである。 ゆえに、2次方程式x+mx+3m-50 の判別式をDとす ると D<0 ここで D=m²-4・1・(3m-5)=m²-12m+20 よって したがって イコールないから浮いてる (2)y=mx²+4x-2 ② とする。 ○より下にいないとだめ すべての実数xについて,不等式 mx²+4x-2<0 が成り立 つための条件は、②のグラフが常にx軸より下側にあること である。ゆえに,2次方程式 mx²+4x-2=0 の判別式をD とすると m<0 かつ D<0 D=4-4.m.(-2)=8m+16 であるから これを解いて <-2 これと m<0 の共通範囲を求めて =(m-2)(m-10) (m-2)(m-10) <0 2<m<10 8m+16<0 m<-2 \① + (1) では (x2の係数) > が初めから成り立って いる。 2 PD 10 注意 問題文に「2 「式」 とあるから,ma ある。 EX 96 次の2次不等式が、常に成り立つような定数mの値の範囲を (1) x²+2(m+1)x+2(m²-1)>0 (2) mx²+3mx+m-1<0