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と、
てから、
左辺に
_) = 2
-2ab
の式
2
x²
+2(27/1)
れ替える
-9r+2
同じに
の対応
基本例題61 1 の3乗根とその性質
(1) 1の3乗根を求めよ。
(2)1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをぃとする。
(ア) W2も1の3乗根であることを示せ。
(1) w²+w³,
指針 (1)3乗してαになる数,すなわち, 方程式x=αの解を,αの3乗根という。
(2) (1)で求めた方程式x=1の虚数解を2乗して確かめる。
(イ)は方程式x2+x+1=0, x=1の解→ω'+ω+1=0, ω²=1
解答
(1)xを1の3乗根とするとx=1
ゆえに
x-1=0
よって
したがって
または x2+x+1= 0
x-1=0
これを解いて, 1の3乗根は 1,
-1+√3i
(2)(ア) w=
2
@=
1
+ 1/22 +1, (w+2ω²)+(2ω+ω^)” の値をそれぞれ求めよ。
W
基本 58
-1-√3 i
2
練習
261
とすると
w²=(-1+√3)²_1-2√31+3i² −1−√/3 i
2
よって
また
とすると
w ² = ( − ¹ = √3i)²_¹+
2
POINT
よって, w2も1の3乗根である。
(イ)は方程式x2+x+1=0, x=1の解であるから
w²+w+1=0, @³=1
w²+w³=(w³)² w+ (w³)² • w²=w+w²=-1
・+ +1=
4
(x-1)(x2+x+1)=0
−1+√3i
2
1 1
W @²
w2+ω+1=0から,ω'=-ω-1となり
(w+2w²)²+(2w+w²)² = {w+2(-w-1)}²+(2w−w−1)²
=(-w-2)²+(w-1)²=2w²+2w+5
w+1+w²
w²
60
(検討
1+2√3i+32 -1+√3i x=1の虚数解のうち,どち
4
2
らを”としても、 他方が²
となる。 よって、 1の3乗根
は1
2
=0
=2(-ω-1)+2w+5=3
3次方程式の解は複素数の
範囲で3個。
はギリシャ文字で, 「オ
「メガ」と読む。
68
<ω=1を利用して,次数を
下げる｡
ω²=-ω-1 を利用して,
次数を下げる。
1の虚数の3乗根の性質①w'+ω+1=0②ω=1
2(w²+ω+1)+3=2.0+3
としてもよい。
一
Lasus
のがx2+x+1=0の解の1つであるとき, 次の式の値を求めよ。
(2)
1
1
+
W
Co 110 EX
99
2章
1 高次方程式
11
