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kを自然数とする。2* を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは
重要 例題7
7 整数の問題への二項定理の利用
2であることを示せ。
【類千葉大)
重要6
指町> 2=71+4(1は自然数)とおいてもうまくいかない。ここでは,
kが 3q, 3q+1, 3q+2
ー3で割った余りが0,1, 2
(qはんを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し,k=3q+2の場合だ
け 2* を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。
例えば、k=3q のときは,2*=29=8° であり,8°=(7+1)°として二項定理 を利用すると
2* を7で割ったときの余りを求めることができる。
解答
43で割った余りは0か1か
2である。
kを3で割った商をgとすると,kは 3q, 3q+1, 3q+2
のいずれかで表される。
[1] k=3qのとき,q21であるから
Ak=3, 6, 9,
2*=29=(2°)°=89=(7+1)°
=Co79+,C.79-!+…
=7(Co-1+C74-2+ +C)+1
+Cq-17+,C。
二項定理
は整数で、
w
2*=7×(整数)+1の形。
よって,2*を7で割った余りは1である。
[2] k=3q+1のとき,q20 であり
q=0すなわちょ=1のとき
q21のとき 2*=2°9+1=2-29=2-8°=2(7+1)°
k=1, 4, 7,
4二項定理を適用する式の指
数は自然数でなければなら
ないから,q=0とq21で
分けて考える。(*)は[1]
の式を利用して導いている。
R=2, 5, 8,
2*=2=7-0+2
=7-2(,Co74-1+,C79-2+…+Cq-a)+2(*)
よって,2* を7で割った余りは2である。
[3] R=3q+2のとき,q20であり
q=0すなわち ん=2のとき
q21のとき 2*=29+2=2°-299=4-89=4(7+1)°
2*=2°=4=7-0+4
=7-4(,Co79-1+,C,7°-2+…+,Cq-1)+4
[1]の式を利用。
よって, 2*を7で割った余りは4である。
[1]~[3] から, 2* を7で割った余りが4であるのは,k=3q+2 のときだけである。
したがって,2* を7で割った余りが4であるとき,kを3で割った余りは2である。
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