□141 複素数の実数条件と軌跡 1/12 × 1
z+
Z
-が実数となるように複素数zが変化するとき,複素数平面において
平素
が表す点はどのような図形をえがくか。 また, それを図示せよ。
求めるものは点zの軌跡図形が分かるようなぇの方程式を求める。
条件の言い換え
(S)
頻出
« Re Action 複素数が実数ならばz=z, 純虚数ならばz=-z, z≠キ0 とせよ 例題 118
=(1+Da
z+
上が実数z+
Z
(2+1/2)=2+1/2
←
展開・整理する。
B
を中心に
1
12+
Z
が実数であるから2+-)-
=z+
Z
118
1
よって
z +== z +
1
2
2
両辺の分母をはらうと
(z)+z=2ztz かつ
整理すると
(2-1)(z-z)=0
(z|-1)(z-z)=0
|z|2-1 = 0 のとき
ADAB
||=1
したがって
||z=1 または z = z
ただし, z=0 を除く。
両辺を2倍する。
z0
これは,原点を中心とする半径1
1
x
の円および原点を除く実軸をえが
A5円
き、右の図。
Point...z+
a²
実数となる条件
Z
a²
2+
(α > 0) が実数のとき
2
Patna
a²
a²
2+
=z+
⇔z +
Z
Z
a²
2
z+
a²
z-z(z)-z+z=0
zzz-z)-(z-z)=0
よって
(zz-1)(z-z=0
またzz = |2|2
zzzは実数
2は実軸上
原点は除かれることに注
意する。
(C)
分母をはらって整理すると
HOLOME - α
a
x
<-22=
(1212-a²)(2-2)=
=0
=1212
||z|=a, z=z
したがって
ただし, z≠0
