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Ra
を数学的帰納
が成り立つ。
一べての自然
は ドミノ倒
る。
割れる。
れたとき,
が倒れる。
ミノが倒れ
基本
BANN
55 等式の証明
......-
が自然数のとき,数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。
·+n•n!=(n+1)!−1
解答
指針
1・1!+2・2!+
00000
499
数学的帰納法による証明は,前ページの例のように次の手順で示す。
[1] n=1のときを証明。
[2] n=kのときに成り立つという仮定のもとで,
+1のときも成り立つことを証明。
[1] [2] からすべての自然数nで成り立つ。
出発点
[類 早稲田大]
p.498 基本事項
まとめ
[2]においては, n=kのとき①が成り立つと仮定した等式を使って, ① の n=k+1
このときの左辺1・1!+2・2! +・・・・..+kk!+(k+1) ・(k+1)! が, 右辺{(k+1)+1}!-1に
等しくなることを示す。
また,結論を忘れずに書くこと。
とき
[1] n=1のとき=31-9
通
(左辺)=1・1!=1, (右辺)=(1+1)!-1=1
よって,①は成り立つ。 ①が成り立つと仮定すると
[2]n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
1・1! +2・2! + ••••••+kk!=(k+1)!−1
n=k+1のときを考えると、②から
1.1!+2.2!+...+k•k! +(k+1). (k+1)!
注意
は数学的帰納法
の決まり文句。 答案ではき
ちんと書くようにしよう。
kは自然数(k≧1)。
1
⑥数学的帰納法
<①でn=kとおいたもの。
n=k+1のときの ① の
左辺。
とき
=(k+1)!-1+(k+1) ・(k+1)!
={1+(k+1)}(k+1)! -1
えに=(k+2)(k+1)!-1=(k+2)!-1
={(k+1)+1}!-1n=k+1のときの①の
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[s
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。結論を書くこと。
8.0+(+81) トー
+1
検討
数学的帰納法では,仕組み (流れ)をしっかりつかむようにしよう(指針の[1][2])。
なお,[1] で n=1の証明が終わったと考えて, [2] でn=kの仮定を k≧2 としてしまって
は誤りである。 注意するようにしよう。
bon
24667 (El bom) of
(81 bom)
"E-EI="@+E+A
数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。
[島根大]
