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基本例題 126 連立漸化式 (2)
数列{an},{bn} を α = 1, b1 = -1, an+1=5an-4bn, bn+1=an+bnで定めると
(1)an+1+xbn+1=y(an+xbn) を満たすx, yの値を求めよ。
(2) 数列{an}, {bn}の一般項を求めよ。
MERA
指針 p.575 基本例題125 (1) と同様に, 〔解法1] 「等比数列を利用」 の方針によって解けばよ
an+xbn=(a₁+xb₁)
(2) (1) から,数列{an+xbn}は公比yの等比数列となり
これに αn=bn+1-6 を代入し, an を消去すると
bn+1=(1-x)bn+(a+xbi)yn-1
解答
(1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(an+bn)
$27
an+1= pan+g 型の漸化式 (p.564 基本例題118) に帰着。
よって, ① の両辺をy7+1で割ればよい。
=(5+x)an+(-4+x)bn
よって, an+1+xbn+1=y(an+xbn) とすると
(5+x)an+(-4+x)bn=yan+xybn
REOC I) (S
これがすべてのnについて成り立つための条件は
......
5+x=y, -4+x=xy
5+x=yを4+x=xy に代入して整理すると
x2+4x+4=0
ゆえに
したがって 求める x, yの値は
(2) (1)から
an+1-2bn+1=3(an-2bn)
よって, 数列{an-26m}は,初項α1-261=3,公比3の等比
数列であるから
x=-2
x=-2, y=3
bn+1
bn
1
+
3n+1 3" 3
+
+
an-26m=3.3"-1 3 すなわち an=26+3"
これに an=bn+1- 6 を代入すると
bn+1=36n+3
3¹
bn
あるから 第1-131+(n-1)-13-032
=
よって
a=3"-¹(2n-1), b=3"-¹(n-2)
両辺を 37+1 で割ると
数列{10} は,初項 1/14-11/11/13 公差 1/13の等差数列で
=
ま
め
[参考] [解法2][1つの
に関する漸化式に帰着させ
る]の方針による解答
an+1=5an-4bn.
bn+1=an+bn
② から a=bx+1-bm
an+1=bn+2-b₁
これらを①に代入して
bn+2-6bn+1+9bn=0
特性方程式x^2-6x+9=0
解くとx=3(重解)
よって, p.573 基本例題124
と同じ方針で、 まず一般
を求める。
1
lan+1=pantg”型は両辺
g" +1 で割る(p.564 参照)。
an=26+3に代入。
