Question

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三角関数の範囲です。
初歩的かもしれないんですが、θが2個となるのは、②が−1<t<1の範囲に重解をもつか…のところが分かりません。なぜ重解なのでしょうか？お願いします。

3 数学Ⅱ 第3章 三角
研究例題62
0ミリ×27 のときの方程式 co520-2sin@+a=0 を満たすのが2個となる
考え方
2倍角の公式を使い, sing=t とおくと、についての2次方程式になる。
解 cos20=1-2sin' より 与式は,
58.01 Caies-1-San
注
1-2 sin²0-2sin0+a=0
これより,
a=2sin²0+2sin0-1 ......①
ここで,sine=t とおくと, 0≦0<2πより, -1≦t≦1 である。
①は,
xf202= .0-0
a=2t²+2t-1=2(t+1/2)²³-2²
と変形できる。
C
WALTON
①を満たす6が2個となるのは、②が-1<<1の範囲に重解をもつか
-1<t<1 の範囲に1つの解を,t<-1, 1<t の範囲にもう1つの解をもつと
058 203+0S nie
きである。
すなわち, 放物線y=2(t+1/21) 23-212 (-1≦t≦1)と直線
2
y=α が 共有点をただ1つもち, それが −1 <t <1 の範
囲にあるようなaの値の範囲を求める。
AR
右の図より, a= ミー
して,
2
a=-- -1<a<3
2'
322, 05052
右上のグラフにおいて, -1<a<3のとき,直線y=a
Onins+(0)
と放物線y=2(t+1/21) 2-12/28(-1≦t≦1)との共有点はmie
1個である。
そのとき,tの値に対して, 右下の t=sine のグラフよ
りは2個あることがわかる。
1
YA
3
3
22 のときも題意を満たすことに注意!
I
3
10
1
1
11
||
11
-1 NO 1
11
T
T I
2
O
11
11
11
11
3
2;
√2π
N/W
I
y=a
21

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

沢木陽織

単位円やy=sinxのグラフを思い浮かべていただくと分かりやすいと思うのですが、-1<t<1のとき、sinθ=tを満たすθは0≦θ<2πの範囲に2つ存在します。
(ex.t=1/√2の時、θ=π/4,3π/4)
ですから、(今回のグラフの形では実際にこうなることは有り得ませんが)例えば②がt=0と1/2というふたつの解を持つ場合、①を満たすθは全部で4つ出てきてしまうわけです。
こう考えると、θがちょうど2つ存在するためには、-1<t<1の範囲に解が1つだけ存在する必要があると分かります。重解がどうのというのは、「-1<t<1の範囲に解が1つだけ存在する」のはどんなときか、ということを説明しているわけです。
ちなみにですが、t=1やt=-1の時は、例外的にθの値は1つしか出てきません。(t=1ならθ=π/2、t=-1ならθ=3π/2)
なので、もし②の解がt=1,-1となるようなことがあれば、条件を満たすθの値はちょうど2つということになります。今回はグラフの形的にそれが有り得ないので解答には書いてありませんが、一応似たような問題を解く時には注意しておくといいと思います。

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なるほど、詳しくありがとうございます！！