質問は写真にかいてあります

3a=0 ②が が虚数解をもっ 基本 41 重要例 43 虚数を係数とする 2次方程式 00000 xの方程式 (1+i)x2+(k+i)x+3+3ki = 0 が実数解をもつように, 実数k の値を定めよ。 また、 その実数解を求めよ。 CHART & SOLUTION 2次方程式の解の判別 判別式は係数が実数のときに限る D≧0 から求めようとするのは完全な誤り (下の INFORMATION 参照)。 実数解をα とすると (1 + i) o' + (k+i)a+3+3ki = 0 この左辺を a+bi (a, b は実数) の形に変形すれば、 複素数の相等により 0 a=0,b=0 ← α, kの連立方程式が得られる。 基本 38 2章 9 解答 方程式の実数解をα とすると 整理して (1+i)a2+(k+i)a+3+3ki=0 (Q2+ka+3)+(α2+α+3k)i=0 x=α を代入する。 ←a+bi=0 の形に整理。 α, kは実数であるから, a+ka+3, 2 + α+3k も実数。この断り書きは重要。 ①よって 複素数の相等。 a2+ka+3=0 ① どうし Q2+α+3k=0 ...... ② から (k-1)α-3(k-1)=0 ( のか ① 分かりません (k-1)(a-3)=0 k=1 または α=3 [1] k=1のとき ① ② はともに α2+α+3=0 となる。 これを満たす実数αは存在しないから、不適。 [2] α=3 のとき ① ② はともに 12+3k=0 となる。 ゆえに k=-4 [[1], [2] から, 求めるkの値は 実数解は k=-4 x=3 INFORMATION ← α を消去。 infk を消去すると 03-2α²-9=0 が得られ, 因数定理 (p.87 基本事項 21 ) を利用すれば解くことがで きる。 6=-47 ←D=12-4:1.3=-110 a²+9+3k38: ②:32+3+3k=0~ ①:32+3k+3=0 a=3~4とでたけど 2次方程式の解と判別式 管に-4はないのか →万かりみん 2次方程式 ax2+bx+c=0 の解を判別式 D=62-4ac の符号によって判別できる のは a, b, c が実数のときに限る。 例えば, a=i, b=1,c=0 のとき 62-4ac=1>0 であるが, 方程式 ix²+x=0 の解 はx=0, i であり,異なる2つの実数解をもたない (p.85 STEP UP 参照)。 PRACTICE 430 xの方程式 (1+i)x2+(k-i)x-(k-1+2=0 を定め

解と係数の関係関連で出てきた問題なのですが、 有理数、実数、複素数の各範囲で因数分解する と言う文は、どういう意味なのでしょうか？ また、（1）の答えで、実数と複素数がどちらも（x＋1）（X−1）…なのはなぜですか？複素数ってiが実数にくっついているものだけではないのでしょうか。

次の式を, (ア) 有理数 (イ) 実数 (ウ) 複素数の各範囲で因数 分解せよ。 *(1) x^-6x²+5 *(2) 2x^-x2-6 (3) x4 +4 (1) x-6x2+5=(x2)2-6x2+5 =(x2-1)(x2-5)=(x+1)(x-1)(x2-5) =(x+1)(x-1)(x+√5)(x-√5) (ア) (x+1)(x-1)(x2-5) (イ), (ウ) (x+1)(x-1)(x+√5)(x-√5) (2) 2x-x-6-2(x2)²x²-6 =(2x2+3)(x-2) =(2x2+3)(x+√2)(x-√2) 2x2+3=0を解くと x=± √√6 S よって(与式)=2x+ x(x+√2)(x-√2) (7) (2x²+3)(x²-2)+(3.30: (イ) (2x2+3)(x+√2-√2 √6 (15) 2(x+ √6 1)(x - 16 i) (x + √2)(x−√2) (3) x+4=(x+4x2+4)-4x2=(x+2)2-(2x)^ ②から={(x2+2)+2x}{(x²+2)-2x) =13 = (x2+2x+2)(x²-2x+2)30 x2+2x+2=0 を解くとJx=-1士 x²-2x+2=0 を解くと 0 x=1ti したがって 10= Jei (与式)=(x-(-1+i)(x-(-1-1)} x{x-(1+i)}{x-1)) =(x+1-i)(x+1+i)(x-1)(x-1+io (ア)(イ) (x2+2x+2)(x²-2x+2 (ウ) (x+1-i)(x+1+i)(x-1-i)(x-1+i)s

1の3乗根のうち、虚数であるものの1つをωと するとき、 ω^10　+　ω^5 の値を求めよという問題がわかりません ①ω^2　+　ω　+　1　=　0になる理由 ②問題の解き方 1つだけでもいいので、教えていただけると ありがたいです！

(2)の問題で青線を引いた所でx=0というのは何故無いのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

kを実数とするとき, 次の2次方程式の解を判別せよ. (1) 2-(k+1)x+k2=0 (2) kx2-2kx+2k+1=0

①-②で連立方程式のようにaの値kの値を求めたのに(1)でなぜ不適になってしまうのかわからないです！ 分かる方お願いします🙇‍♀️

2 ゆえに、3, 5 √3 ·≤a≤- √3 1≤a ” a≦- 2 4 2 12-ac e が2の倍数の を利用する やすい。 (1) 2つ ゆえにd-ai+kai-a+3-3ki=0 方程式の純虚数解を x=ai (a は実数でα≠0) とすると (1+i) · (ai)+(k+i) ai+3-3ki=0 練習 k を実数の定数, i=√-1 を虚数単位とする。 xの2次方程式 (1+i)x2+ (k+i)x+3-3ki=0 が純虚数解をもつとき, kの値を求めよ。 ④ 42 【摂南大〕 純虚数は10 でない笑数)の形の複素 数。 Job (-a-a+3)+(-a2+ka-3k)i=0 すなわち -3)) の部 に書いてもよ 。 ①-② から よって iについて整理すると (a2+a-3)+(α-ka+3k)i=0 a2+a-3,a-ka + 3k は実数であるから a2+a-3=0. ①, a²-ka+3k=0 ... a(1+k)-3(1+k)=0 (a-3)(k+1)=0 ゆえに α=3 または k=-1 ←A, B が実数のとき ② A+Bi=0 ⇔A=0, B=0 EA [1] α=3のとき, ① を満たさないから不適。 ←a=3のとき、 ① は [2] k=-1のとき,②はα+α-3=0となり, ①と一致する。 9=0 となるが,これは不 -1±√13 合理である。 とき 方程式 ① を解くと a= 2 -B)>0 β<x よって, αは0でない実数である。 したがって k=-1 (a+b)-8 ←「αは実数, a≠0」を 確認。 条件を満た 検討 本冊 p.76 で紹介したように,一般に次のことが成り立つ。 2次方程式 az'+bz+c=0 (a,b,cは複素数, α≠0) の解は z= (久留米 -b+(b+qi) 2a (Dの虚部) ただし, p, q は D=62-4ac とするとき,p-q^= (D の実部), pq=- 2 を満たす実数とする。 +=+ このことを導いてみよう。

二次方程式を解く際に解の公式を使いますが、 その二次方程式の係数に、虚数が含まれている場合は解の公式が使えないと学びました。 係数に虚数ではなく√などの無理数が入っている場合も解の公式が使えなくなってしまうのでしょうか。

どうして赤線のように変化するのかが分かりません！ 教えていただけると嬉しいです！！

POINT 1の虚数の3乗根の性質 ①ω'+w+1=0 ② ω=1 wがx2+x+1=0の解の1つであるとき, 次の式の値を求めよ。 (1) 100+50 w (3)(ω200+1)100+ (ω100+1)1+2 (2) 1 1 18 + W

赤線の部分が分かりません！ どうして分数がいきなり分数ではなくなったのですか？ 教えていただけると嬉しいです！ よろしくお願いします！

基本 例題 63 1の3乗根とその性質 (1)1の3乗根を求めよ。 (2)1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをとする。 (ア) 2も1の3乗根であることを示せ。 1 00000 (1) w²+w8 + +1 +2ω^)+(2ω+ω^) の値をそれぞれ求めよ。 W w² ・基本60 指針 (1)3乗してαになる数, すなわち, 方程式 x=αの解を, αの3乗根という。 (2)(1) で求めた方程式 x=1の虚数解を2乗して確かめる。 (イ)は方程式x2+x+1=0, x=1の解ω'+w+1=0,ω=1 (1)x1の3乗根とすると x3=1 ゆえにx-1=0 よって (x-1)(x2+x+1)=0 (日本 方程式 き換える! 断ってか りる。なお 式の左 左辺ミリ 2 2章 11 1 高次方程式 解答 したがって x1 = 0 または x2+x+1=0 -1±√3i これを解いて, 1の3乗根は 1, 3次方程式の解は複素数 2 この範囲で3個。 (2))=-1+iとすると ω°=(-1+√3i)_1-2√3i+3° _ -1-√gi 2 --- 3i とすると 2 4 2+a ω°=(-1-√3i)_1+2√3i+30 -1 + 1+2√3i+32-1+√3i はギリシャ文字で, 「オメガ」と読む。 (0) W= けて整 晶検討 4 2 よっても1の3乗根である。(1 x=1の虚数解のうち, ど ちらをωとしても,他方 が となる。 よって, 1 て整 (イ)は方程式 x2+x+1=0, x=1の解であるから の3乗根は1,ω, 2 w2+w+1=0,ω'=1 よってω'ω'=(ω^)+(3)2w²=wtw²=-1 また 101+1/+1= w+1+w2 ω=1を利用して,次数 を下げる。 =0 w2m+1=0から2=-ω-1となり (+2ω^)+(2ω+w2) 2 ={w+2(-w-1)}+(2w-w-1)² => =(-ω-2)+(ω-1)2=2ω2+2w+5 =2(-ω-1)+ 2 ω +5=3 ω=-ω-1 を利用して, 次数を下げる。 2(ω'+w+1)+3=2・0+3 としてもよい。 POINT 1の虚数の3乗根の性質 ①ω'+w+1=0 ② ω=1 [練習 ①がx2+x+1=0の解の1つであるとき, 次の式の値を求めよ。 ② 63. (1)10050 (3) (w200+1)100+ ( ω 100+1) +2 (2)1

(1)の言っている意味がよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

x=1 をみたす虚数の1つをωとするとき, 次の問いに答えよ. (1)ω=1, w2+w+1=0 を示せ. w13-w5+1 (2) の値を求めよ. w+1 のは -1+√3i -1-√3i 2 か のどちらかを指していますが、この 2 精講 虚数も, 16 の(1)の虚数と同様で, x”=1 をみたす自然数nがあり ます. このような虚数を扱うときには,この式 ("=1) を利用して 次数を下げていくのがコツです. 解 答 (1)ωはx=1 の解だから, w3=1 次に, x-1=0 (x-1)(x2+x+1)= 0 ..ω°+w+1=0 ωは虚数だから, x'+x+1=0 の解.

赤線のところが分かりません！ どうしてkが−8じゃなかったらk<-8,-8<k<0,4<kになるのですか？ 教えていただけると嬉しいです！

例題41 kは定数とする。 次の2つの2次方程式 x2-kx+k2-3k=0 ...... ①, (k+8)x2-6x+k=0 について,次の条件を満たすkの値の範囲をそれぞれ求めよ。 ①,② のうち,少なくとも一方が虚数解をもつ。 (2) ①,② のうち, 一方だけが虚数解をもつ。 「指針 ② )については, 2次方程式であるから, x2 の係数について, +8≠0に注意 ①②の判別式をそれぞれD1, D2 とすると, 求める条件は → (1) D1 <0 または D2<0 - 解を合わせた範囲 ( 和集合) 重要 (2) (D1 < 0 かつD2≧0) または (D1≧0 かつD2<0) であるが, 数学Ⅰでも学習 うに, Di < 0, D2 <0 の一方だけが成り立つ範囲を求めた方が早い。 チャート式基礎からの数学Ⅰ+Ap.200 参照。 CHART 連立不等式 解のまとめは数直線 xの方 めよ。 指針 ②の2次の係数は0でないから +8≠0 すなわちん キ-8 普通, 2次方 解答 このとき,①,②の判別式をそれぞれ D, D, とすると D=(-k)2-4(k2-3k)=-3k2+12k=-3k(k-4) ax²+bx+c=\ うときは、特に 解答 ない限り, 2次の D2=(-3)2-(k+8)k=-k-8k+9+ (SS)=SIは0でない 4 =-(k+9)(k-1) (1) 求める条件は,kキー8のもとで D1 <0 またはD2<0 る。 D₁<05 k(k-4)>0 ゆえに k<0,4<h+s k≠-8であるから <-8,-8<k<0.4<k. の方 ③④ D<0 から (k+9)(k-1)>0 ③ よって k<-9,1<k ..... 4508=-9-8 014 求めるんの値の範囲は,③と④の範囲を合わ せて k<-8,-8<k<0, 1<k > * 0>0 (2)①,②の一方だけが虚数解をもつための条件 は, D.<0, D2<0 の一方だけが成り立つことで 3 ある。 ゆえに③④の一方だけが成り立つの範囲で実として塩を を求めて-9≦k<-8,-8<<0, 1<k≦4 -9-8 01