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基本例題 49 2次方程式の解の存在範囲 (2)
xについての2次方程式x(a-1)x+a+6=0 が次のような解をもつよう
$HOO
な実数aの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1) 2つの解がともに2以上である。
(2) 1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。
x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα, β とし, 判別式を
Dとすると
解と係数の関係により
D={-(a-1)}2-4(a+6)=α²-6a-23
α+β=a-1, aβ=a+6
(1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の ①,②,③が同
時に成り立つことである。
D≧0
CHART & SOLUTION
実数解 α, β と実数の大小
a-k, β-k の符号から考える
(1) 2以上とは2を含むから、 等号が入ることに注意する。
a≥2, B≥2 ⇒ (a−2)+(B-2) ≥0, (a-2)(B-2)≥0]
(2) a<2<ß †l B<2<a ⇒ (a−2)(B-2)<0S8+5+x(6-0)5+
解答
(x-2)+(B-2)≧0
(a-2)(B-2) ≥0
①から a²-6a-23≥0
ゆえに a≦3-4√2,3+4√2 ≦a (4)
②から
①
a+B-4≥0 ゆえに
a ≥5 ・・・・・・
(5
aß-2(a+B) +420
よって
③から
ゆえに
a+6−2(a-1)+4≧0
④,⑤, ⑥ の共通範囲を求めて
件は
よって α+6−2(a-1)+4<0
P RACTICE 49
(a-1)-4≧0
3+4√2 ≦a≦12
(2) α<2<β または β<2<α であるための条
(a-2)(B-2)<0
CECONNA
よって a≦12... ⑥
3-4√2
これを解いて a>12
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p.76 基本事項 5,基本48
,
inf. 2次関数
f(x)=x²-(a-1)x+a+6
このグラフを利用すると
(1) D≧0, 10 O
( 軸の位置) ≧2,
ƒ(2)≥0
0
EF(2)
a-10
2
(2) f(2)<0
(p.76 補足参照)
5
x
5 3+4√2 12
このとき, D>0は成り
立っている。
(p.754 解説参照)
ED
(
