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基本 例題 74 第2次導関数と等式
(1)y=log(1+cosx)' のとき,等式 y"+2e = 0 を証明せよ。
0000
(2) y=e2*sinx に対して, y" =ay+by' となるような実数の定数a, b の値を求
めよ。
[(1) 信州大 (2) 駒澤大]
7
基本 73
指針 第2次導関数y” を求めるには、まず導関数yを求める。 また, 1), (2) の等式はとも
にの恒等式である。
(1) y” を求めて証明したい式の左辺に代入する。
また - xで表すには,等式 elogpp を利用する。
(2)y', y” を求めて与式に代入し、数値代入法を用いる。 なお, 係数比較法を利用す
ることもできる。 ◆ 解答編 p.94 の検討 参照。
(1) y=2log(1+cosx) であるから
3章
解答
y' =2..
(1+cosx) __ _2sinx
1+cosx
1+cosx
よって
y
y”= _ 2{cosx(1+cosx)=sinx−sinx)}
(1+cosx)
2(1+cosx)
2
1+cosx
5 (1+cosx)
また, //= log(1+cosx) であるからex=1+cosx
2
2
ゆえに
y
e2
1+cosx
よって
y"+2e-=-
2
2
+
1+cosx 1+cosx
<logM=klog M
なお, -1≦cosx≦1 と
11
(真数)>0 から
1+cosx>0
sinx+cos2x=1
elogp = pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
高次導関数関数のいろいろだ表し方と同数
(2) y=2e2sinx+excosx=e”(2sinx+cosx)
y”=2ex(2sinx+cosx)+e(2cosx−sinx)
=e2x(3sinx+4cosx)・・
①
ゆえに ay+by'=aesinx+be2(2sinx+cosx)
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}:
y" =ay+by' に ①,② を代入して
e2x
...
(2)
\(e2*)(2sinx+cosx)
+e2(2sinx+cosx)、
[参考 (2) のy"=ay+by'
のように、未知の関数の
導関数を含む等式を微分
(3sinx+4cosx)=e2x{(a+2b)sinx+bcosx} ・・・ ③ 方程式という(詳しくは
③はxの恒等式であるから, x=0を代入して
π
また,x=- を代入して
4=b
p.353 参照)。
③が恒等式 ⇒③に
π
x=0.7を代入しても
3e=e" (a+26)
これを解いて
a=-5,6=4
このとき ( ③の右辺)
=e2x{(-5+2・4)sinx+4cosx}=(③の左辺) 逆の確認。
したがって
a=-5,6=4
成り立つ。
