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数学 高校生

線を引いた部分は、AH2乗+BH2乗=AB2乗ではダメですか????

半径1の球0に正四面体 ABCD が内接している。このとき,次の問いに答えは、 ただし、正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は, 底面の 指針>(1)p.255~p.257 の例題 165, 166 と同様に,立体から 平面図形を取り出して考える。 重要例題169 球と球に内接する正四面体の体積比 三角形の外接円の中心であることを証明なしで用いてよい。 わ「 (1) 正四面体 ABCDの1辺の長さを求めよ。だし (2) 球0と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。 面装V 【類お茶の水大 、、周の 重要16 Tar 本 指針>(1)p.255~p.257 の例題 165, 166 と同様に, 立体から 平面図形を取り出して )図 ABH の斜辺ととらえ,三平方の定理 から求める。 7OV2 10円0。 -x(底面積)×(高さ) (2) 正四面体 ABCD の体積は- 1 ×△BCD×AH 3 三 12 (p.256~p.257 重要例題 166 参照) 果謝(S) MM 解答 (1) 正四面体の1辺の長さをaとする。 正四面体の頂点Aから ABCDに 垂線 AH を下ろすと, Hは △BCD の外接円の中心である。 ABCD において,正弦定理により 銀問4球に正四面体が内接すると いう場合,正四面体の4つ の頂点は球面上にある。 ューニ / く世き難円面 (B APAITY ゆえに BH=- AH a a 2sin60° 3 ZDBC=60°, CD=aであ るから,ABCD の外接円 の半径をRとすると よって AH=VAB?-BH よって BHL 2 a CD =2R AHitBHF- AB2 sin ZDBC では当が D 三 3 a 3 直角三角形 OBHにおいて, BH+OH*=OB° からAコ+3日A)=08A 201 2 ゆえに a(a-246)-0 a 2/6 J同 /3 内角が30、6090の (aの2次方程式を解く。 a- =1 3 したがっ a>0であるから 2,6 a= 3 *コー

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数学 高校生

赤い部分がなぜこうなるのか分かりません、教えてくれると有難いですm(*_ _)m

第4章 三角関数 例題 156 三角関数の最大·最小7) 例題 実数x, yがx°+y°=4 (x20, y>0) を満たすとき, 2x°+3xy-y°の 最大値と最小値を求めよ、 長さ ZPAI 考え方 「実数x, yが x+y=r (r>0)を満たす」を, 「点(x, y) が円 x*+y°=r? 上にあ 最大値 る」と考えると、x=rcos0, y=rsin0 とおける。 解答 実数x, yがx+y°=4 を満たすとき,点(x, y) は円 x°+y°=4 上の点だから, x=2cos 6, y=2sin0とおける。 また、x20, y20 より, 0%0S。 [考え方」 cos 020 かっ sin020 となるの 2x+3xy-y=k とおくと, x=2cos6, y=2sin0 より, k=2(2cos 0)?+3-2cos0·2sin0-(2sin0)° =8cos°0+12cos 0sin0-4sin°0 解答 は,0S0S のとき 1+cos20 =8- sin20 +12· 2 1-cos 20 4. sin20=2sin0cos0 より, 2 2 =6(sin20+cos20)+2 sin20 sin@cos0= 2 一6/2sin(20+号)+2 5 ここで,0S0Sより,s20+<てであるから, 1 -Ssin(20+4)=1 よって, sin(20+4)=1 つまり, 20+年=匹 より, e-号のとき, V2 kの最大値6/2+2 このとき,(x, y)=(2cos, 2sin sin(20+)=-っまり, 20+年=コx より., 0=号のとき, ) 1 ーπ より,0= 4 kの最小値 -4 このとき, (x, y)=(0, 2) Focus 実数 x, yが x°+y=rr を満たすとき, x=rcos0, y=rsin0とおける (ただし, 一般にr>0 とする) 注》点(x, y)が円 x*+y°=r上にあるとの考えによるものである。 練習 実数x, yが x?+y°=1 (xN0, y名0)を満たすとき 152」10 0.2の最士 E85|4

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