1≦x≦3と7≦x≦9は同時に起こるということですか？ なぜ、2つの範囲ができるのかが分かりません。

基本例題 94 連立不等 周囲の長さが20cmの長方形の面積を9cm²以上, 21cm²以下にするには, どのようにすればよいか。 CHART & SOLUTION 文章題の解法 ① 大小関係を式で表しやすいように変数を選ぶ その変数のとりうる値の範囲を求める ③ 解が問題の条件に適するかどうかを検討 長方形の1辺の長さをxcmとして, 問題の条件を表す不等式を作る。 このとき,xの変域 に注意。 解答 長方形の1辺の長さをxcm とすると,他の辺の長さは (10-x) cmとなる。 x>0 かつ 10-x>0 から 条件から 9≦x (10-x)≧21 9≦x (10-x) から x-10x+9≦0 ゆえに (x-1)(x-9)≦0 よって 1≤x≤9 ② x (10-x)≧21 から x2-10x+21≧0 ゆえに (x-3)(x-7)0 x≦3,7≦x よって ①,②, ③ の共通範囲を求めると 0 0<x<10 1≦x≦3 または 7≦x≦9 3 にすればよい。 ✰✰✰✰✰ したがって, 長方形の短い方の辺の長さを 1cm以上3cm 以下 3 9 10 x 基本803 ←長方形の縦と横の長さ の和は10cm ←xの変域を調べる。 x cm -(10-x)cm- 9 cm²以上 21cm²以下 は周囲の長さの 半分で10cm ① を考えることにより、 解の吟味になっている。 2010-x? ←長方形の長い方の辺で 答えるなら7cm以上 9cm以下となる。 110-x=710-x-91 inf. 長方形の長くない方の辺の長さを x cm とすると, x>0, 10-x>0x≦10-xの共 通範囲から, ①0<x≦5 となり,これと②,③の共通範囲を求めて 1≦x≦3 と してもよい。

なぜ3K➕1 3K➕2になるのかどんなに見てもわからないです、、 3K➕1でK＝1を代入した時N＝4となり、5以上の時と か？？

こと 基本114 を 3つの 2に対 なるな に対 なる。 2の 117 3つの数がすべて素数となる条件 13 要 例題 を自然数とする。 n, n +2, n+4がすべて素数となるのはn=3 の場合 n だけであることを示せ。 [ 早稲田大〕 CHART O 8414 SOLUTION 方針が立てにくい問題 数値を代入して見当をつける 本問の場合、命題が成り立つことを証明す るために何を示せばよいか, 方針を立てる のが難しい。 そこで, 5以上の素数nにつ いて,n+2,n+4の値を調べてみると右の 表のようになり, n +2またはn+4が3の倍数であると見当がつく。 よって, 5以上の素数nについては, n=3k+1, 3k+2の場合に分けて,n+2, n+4のどちらかが素数にならないことを示せばよい。 |基本 113 n 5 7 11 13 17 19 n+2 7 9 13 15 19 21 n+4 99 11 15 17 21 23 解答 nが素数である場合について考えればよい。 n=2のとき n+2=4, n+4=6 は素数ではない。 n=3のとき n+2=5,n+4=7 も素数である。 nが5以上の素数であるとき, nは自然数kを用いて 3k+1 または 3k+2 と表される。 [1] n=3k+1 のとき n+2=(3k+1)+2=3(k+1) k+1は2以上の自然数であるから, n +2 は素数ではない。 [2] n=3k+2 のとき n+4=(3k+2)+4=3(k+2) k+2は3以上の自然数であるから, n +4 は素数ではない。 よって、nが5以上の素数であるとき, n +2 または n +4 は素 数ではない。 n=2, 3, 5, 7, ◆素数nは3の倍数でな い。 また k=1, 2, 3, 3・1=3 は素数であるか ら、 の断りは重要。 以上から, n, n+2, n +4 がすべて素数となるのは n=3 の場 だけである。 n=2のとき n+4=6が3の倍数であるから,これを含めて「nが3以外の素数 であるとき, n +2 またはn +4が3の倍数である」 ことを示してもよい。 ただし, その場合はn=3k-1,3k+1 (kは自然数) のようにしないと n=2の 場合が表せなくなるので, 注意が必要である。 すべて求めよ。 415 4章 14 整数の割り算と商余り ・ある ・あ と 数に 返す C が C れ る れ 進 う

ここの絶対値内の変化ですが、マイナスを掛けても=で結べるのですか？

CHART SOLUTION 解答 放物線 ① 上の点をP(t, t2) とし, Pから直線②に引いた垂線を P PH とすると 点 (x1, y1) と直線ax+by+c=0の距離 放物線 ① 上の点をP(t, t2) として, 点Pと直線②の距離が 求める。・・・・・・ t-t²-1| PH= Poco √1²+(-1)² = = t-t+1| /2 1/12/12/11/1/3+1/12/1 - = √/2 (1-2)² + 3/2 8 よって, PHはt= t=1/23 で最小値 をとる。 4 ③ を解いて x= 3√2 8 [類 中央大] 0 y= VA ① Laxcitbya 7 8 (t, t²) P H t 12/2のとき,P(12/11/12) であるから,直線 PH の方程式は 9 AR 3 y-121=(x-212) すなわち 4x+4y-3=0 fed X 点は,直線② 上の点でもあるから, その座標を求めると 7 1 8' 8 したがって、求める点の座標は 12.4

⑵[1]k=0の時のグラフが想像つきません。 どのような形で、なぜすべての実数xに対して成り立たないんですか？

基本例題 91 (1) すべての実数xについて, 不等式 x2ax+2d 定数αの値の範囲を定めよ。 p.146 基本事項 すべての実数xに対して, 不等式 kx2+(k+1)x+k0 が成り立つよう | な定数kの値の範囲を求めよ。 CHART & SOLUTION 定符号の2次式 常に ax2+bx+c>0⇔a> 0, D<0 常に ax+bx+c≦0 a<0, D≦0 (1)x²の係数は 10 D<0であるαの条件を求める。 解答 (1) x2-ax+2a=0 の判別式をDとする。十 x2の係数は正であるから、常に不等式が成り立つ条件は D<0 D=(-a)²-4.1.2a=a²-8a= a(a−8) 0<a<8 (2) 単に「不等式」 とあるから,k=0 の場合 (2次不等式でない場合も考えることに注意。 k0 の場合, < 0 かつ D≦0 であるんの条件を求める。 ここで D<0 から 求めるαの値の範囲は (2) kx²+(k+1)x+k≦0 [1] k=0 のとき, ① は x≤0 これはすべての実数xに対しては成り立たない。 [2] k=0 のとき, 2次方程式 kx²+(k+1)x+k=0 の判 別式をDとすると, すべての実数xに対して, ① が成 り立つための条件は ん < 0 かつ D≦0 ここで D=(k+1)2-4・k・k=-3k'+2k+1 上にコー (3k+1)(k-1) D≦0 から (3k+1)(k-1)≥0 よって ① とする。 ks-, isk 1≦k k<0 との共通範囲をとると 以上から, 求めるkの値の範囲は FX k≤-- 立つように、 3 k≤ - 1²/13 [東京電機大 下に凸の放物線が常に x軸より上側にあるた めの条件と同じ(p.146 基本事項2参照)。 (1) 下に凸 D<0 [2] HEBO x軸と共有点をもたな い,または、x軸と接す る条件と同じ。 [2] 上に凸 DSO

(1）なぜ三平方でといては行けないのですか？

364 基 本 例題 84 方べきの定理 LAD=6,BC=8,/CA=10 の直角三角形ABCの外接 円の中心を0とする。 図のように, 辺BC上に点Pを とり,線分 AP の延長と円Oとの交点をQとし,Qに おける円Oの接線と辺ABの延長との交点をRとする。 (1) BR=4 のとき, 線分 QR の長さを求めよ。 (2) BP=6のとき, 線分PQの長さを求めよ。 重要 88 CHART SOLUTION 4535 =80 かっせん かっせん 交わる2弦 2本の割線 接線と割線には方べきの定理 L√√√R = 45 方べきの定理は,次の図のように3つの場合に適用できる。 [1] 交わる 2 弦 [2] 2 本の割線 [3] 接線と割線 D |p.357 基本事項 3 B D 110 第題な C C

7≦x≦9は長い方の辺と書いてありますが、何故ですか？

基本 8093 周囲の長さが20cmの長方形の面積を9cm2以上, 21cm²以下にするには、 どのようにすればよいか。 基本例 CHART & SOLUTION 文章題の解法 ① 大小関係を式で表しやすいように変数を選ぶ 2 その変数のとりうる値の範囲を求める ③ 解が問題の条件に適するかどうかを検討 長方形の1辺の長さをxcmとして, 問題の条件を表す不等式を作る。 このとき、xの変域 に注意。 答 長方形の1辺の長さを x cm とすると、 他の辺の長さは (10-x) cm となる。 x>0 かつ 10-x>0 から 0<x<10. ・① 条件から 9≤x(10-x) ≤21 9≦x(10-x)から x2-10x+9≦0 ゆえに (x-1)(x-9)≦0 よって x (10-x)≧21 から ゆえに (x-3)(x-7)≧0 よって x≦3,7≦x ①,②,③の共通範囲を求めると 0 1≤x≤9 1 1≦x≦3 または 7≦x≦9 3 にすればよい。 x2-10x+21≧0 したがって, 長方形の短い方の辺の長さを 1cm以上3cm 以下 7 P RACTICE 94② 9 10 x 長方形の縦と横の長さ の和は10cm xの変域を調べる。 x cm -(10-x)cm- 9 cm²以上 21cm²以下 は周囲の長さの 半分で10cm ← ① を考えることにより､ 解の吟味になっている。 ←長方形の長い方の辺で 答えるなら7cm以上 9cm以下となる。 inf. 長方形の長くない方の辺の長さを x cm とすると, x>0, 10-x>0, x≦10-x0 ●の共 通範囲から, ①0<x5 となり,これと②,③の共通範囲を求めて 1≦x≦3と してもよい｡

判別式って二次関数とx軸の位置関係を調べるものですよね？ 直線y=2x-aと二次関数で判別式を使ってもいいんですか？

放物線 y=x^-3x+3 と直線y=2x-α がある。 (1) α=1のとき, 2つのグラフの共有点の座標を求めよ。 [2] 2つのグラフの共有点がただ1つであるように定数aの値を定めよ。 2つのグラフが共有点をもたないように定数aの値の範囲を定めよ。 p.139 基本事項 基本 84 CHART & SOLUTION 放物線と直線の共有点 (1) 放物線y=ax2+bx+c と直線y=mx+n の共有点の座標は, 連立方程式 y=ax²+bx+c,y=mx+n の実数解で与えられる。 (2)(3) yを消去してできる2次方程式 ax2+bx+c=mx+nが 重解をもつとき, 放物線と直線は接するといい, その共有点を接点という。 また, その 直線を放物線の接線という。 実数解をもたないとき, 放物線と直線は共有点をもたない。 解答 y=x2-3x+3 ①,②からyを消去すると 整理して x2-5x+a+3=0 (1) α=1のとき, ③は よって これを解いて ②から ・①, y=2x-a ...... x=1のとき ...... x2-3x+3=2x-a 3 y=1, y=7 x2-5x+4=0 (x-1)(x-4)=0 x=1, 4 x=4のとき ゆえに,共有点の座標は (2) 2次方程式 ③ の判別式をDとすると ② とする。 inf. 放物線と直線の位置関係 [1] 異なる2点で交わる ⇔D>0 V [2] 1点で接するD=0 (1,1),(4,7) D < 0 すなわちa> 接線 2つのグラフがただ1つの共有点をもつための条件 [3] 共有点をもたない D<0 は,③が重解をもつことであるから D=0 すなわち a=123 (3) 2つのグラフが共有点をもたないための条件は、 ③ が実数解をもたないことであるから D=(-5)²-4・1・(a+3)=-4a+13 13 4 接点

【確率の加法定理】 答えは同じなのですが解き方が違います😓この解き方では不正解でしょうか。 チャートの解き方がいまいち理解できないので教えていただきたいです🙏

320 確率の加法定理 (順列 基本例題 38 20本のくじの中に当たりくじが5本ある。 このくじをa, b2人がこの順に、 引いたくじはもとに戻さないものとする。 D.312 基本事項 3 1本ずつ1回だけ引くとき, a, b それぞれの当たる確率を求めよ。 ただし、 CHART & SOLUTION 確率 P (AUB) A,Bが排反なら b が当たる場合は、次の2つの事象に分かれる。 A: a が当たり , b も当たる よって, 事象 A, B の関係 (A∩B=Øかどうか) に注目する。 24-0 5 20=1 4 P(AUB)=P(A)+P(B)= ONEXEXE 解答 aが当たる確率は 次に, a,b 2人がこの順にくじを1本ずつ引くとき、起こり うるすべての場合の数は 20P2=380 (通り) このうち, bが当たる場合の数は A:aが当たり, b も当たる場合 5P2=20 (通り) B: a がはずれ, b が当たる場合 15×5=75 (通り) A,Bは互いに排反であるから、確率の加法定理により、 b が当たる確率は 15 (0 20 380 P(B) T P(A)+P(B) Baがはずれ,bは当たる 75 380 (1) ·+· Athy AMOALTI Nes OCH FOY 951 380 4 582 208 5P₁ 20P₁ BAKALHOTOS ←2本のくじを取り出して a, 場合 手の人も 事象 A,Bは同時に起 こらない。 080805 INFORMATION 当たりくじを引く確率は同じ * Jes 上の例題において, 1本目が当たる確率と2本目が当たる確率はともに 当たる確率はともに 1/4で等しい。 (1 C 一般に,当たりくじを引く確率は,引く順番に関係なく一定である。 また引いたくじをもとに戻すものとすると, 1本目が当たる確率と2本目が当たる CE- Fet-t 確率はともに 11 である。したがって 日 **^& [S] 当たりくじを引く確率は, 引く順, もとに戻す もとに戻さないに関係なく等しい。 SAJHA JHOVIE STRESAS

記述の時、xのとりうる値の範囲は書かなくも減点になりませんか？

BC=18, CA=6である直角三角形ABC の斜辺AB上に点Dをとり,Dか ら辺BC, CA にそれぞれ垂線DE, DF を下ろす。 ADF と△DBE の面積 の合計が最小となるときの線分DEの長さと、そのときの面積を求めよ。 基本60 CHART & SOLUTION 文章題の解法 最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ DE = x とすると, 相似な図形の性質から ADF, △DBE は xの式で表される。 また、xのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。 解答 DE=x とし､ △ADF と△DBE 面積の合計をSとする。 0<DE=FC <AC であるから △ABC= ****.. B 0<x<6 AF=6-x △ABC%△ADF であり, △ABC:△ADF=62: (6-x) 2 ・18・6=54 であるから 3 (6-x)2. ².54= 2(6x)² 62 S=△ADF+ △DBE 54 D — 3³ ((6− x)² + x²) = (2x²-1²×1337 =3(x-6x+18) =3(x-3)2 +27 ① において, Sはx=3 で最小値 27 をとる。 E △ADF= 同様に、△ABCS △DBE であり △ABC: △DBE=62: x2 よって ADBE= 3 62.54= 2x² したがって,面積は 0 3 A 6 F よって,線分 DE の長さが3のとき面積は最小値27 をとる。| (辺の長さ) 0 xのとりうる値の範囲。 ◆相似比がmin→ 面積比は²: n 三角形の面積は 1/2×(底辺)×(高さ) 別解 長方形 DECF の面積 をTとすると, Tが最大に なるときSは最小となる。 DF=3(6-x) から T=x·3(6-x) =-3(x-3)+27 0<x<6から、x=3でT は最大値 27 をとる。 よって、 線分 DE の長さが 3のとき､ Sは最小値 16-18-27=27 をとる。

解説の下から3行目のところについてです。 なぜこのような断りが必要なんですか？

118 DOO! 基本例題 67 最大・最小の文章題 (2) 座標平面上で, 点Pは原点Oを出発して, x軸上を毎秒1の速さで点(60) まで進み, 点Qは点Pと同時に点(0, -6) を出発して、 毎秒1の速さで原点 0まで進む。この間にP, Q間の距離が最小となるのは出発してから何秒後 か。 また, その最小の距離を求めよ。 CHART & SOLUTION √f(x)の最大・最小平方したf(x)の最大・最小を考える t秒後のP, Q間の距離をdとすると, 三平方の定理から d = √f(t) の形になる。 ここで d0 であるから d' = f(t) が最小のときdも最小となる。 解答 出発してから t秒後のP, Q間の距 離をdとする。 P, Qは6秒後にそ れぞれ点 (6,0), (0, 0) に達するか ら 0≤t≤6 ･① このとき, OP=t, 0Q=6-tであ るから, 三平方の定理により d²=f2+(6-t)2 ...... YA 2 18 基本 =2t2-12t+36 =2(t-3)²+18 ① において, d2 は t=3 で最小値18 をとる。 コレd>0であるから, d が最小となるときdも最小となる。 よって、3秒後にP, Q間の距離は最小になり, 最小の距離は √18=3√2 ← t のとりうる値の範囲。 ←点Qのy座標は t-6 基本形に変形。 ◆軸 t=3 は ① の範囲内。 この断りは重要!