基本 例題 ZI
半径αの球に内接する円柱の体積の最大値
さを求めよ。
01+5x0
柱の高
[類 群馬]
基本211)
(
指針≫
値M
指針 文章題では,最大値・最小値を求めたい量を式で表すことがカギ。次の手順で進める。
解答
① 変数を決め、その変域を調べる。
☑
大量
②最大値を求める量(ここでは円柱の体積)を,変数の式で表す。
32 の関数の最大値を求める。 なお、この問題では, 求める量が, 変数の3次式で
なお、直ちに1つの文字で表すことは難しいから, わからないものは,とにかく文字を使
されるから,最大値を求めるのに導関数を用いて増減を調べる。
って表し、条件から文字を減らしていくとよい。
ならば、
ただし、
円柱の高さを2h(0<2h<2a) とし,
底面の半径をすると
r²=a²-h²
◄計算がらくになるように
2h とする。
三平方の定理
解
f(x)
変数
を確認。
f(x
0<2h<2a から
0<h<a
円柱の体積をVとすると
V=лr² 2h=2(a²-h²)h
=-27(h³-a2h)
Vをんで微分すると
V'=-2π (3h²-α²)
=2√3h+α)(√3h-α)
0 <h<αにおいて, V' = 0 となる
22
(円柱の体積
=(底面積)×(高さ)
a>
は右
こ
dV
をV'で表す。
dh
f(
a
h
0
a
a
√3
のは,h=
のときである。
√3
V'
+
0
ゆえに, 0<< α における Vの増
減表は,右のようになる。
V
| 極大
h = 0, a は変域に含まれて
いないから変域の端の値
に対するVの値は記入し
ていない。
ゆ
し
0
今後,本書の増減表は,こ
の方針で書く。
したがって,Vはん= のとき最大となる。
a
100
h=
= 1/3のとき、円柱の高さは2.
a
2√3
2. 3
a
3
12h
体積は22
a 4√3
=
/3
9
2л(a²-h²)h
よって
体積の最大値
4√3
TS 8=
Jet
9
そのときの円柱の高さ
2√3
a
3
される
