次の問題の青線の移行がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

(1) n以上の自然数であり, h>0 のとき,二項定理を用いて不等式 n(n-1) (1+h)” >1+nh+ んが成り立つことを示せ。 2 n (2)(1)の不等式を利用して, limg の値を求めよ。 思考プロセス 二項定理 0以上 (1)(1+h)" = nCo+nCih+nCzh+Csho+ +nCzhn ≧ 1 + nh +- n(n-1) 2 -h2 3n 前問の結果の利用 (1 + 2) ≧ 1+2n+ n(n-1) 2 --2² << 22 Action>>> (α > 1) の極限値は, はさみうちの原理を利用せよ 解 (1) n≧2, h0 であるから, 二項定理により (1+h)" = "Co+ Ch+C2h+... + Chn n(n-1) 2.1 = 1+nh+ ≧ 1 + nh+ 2 n -h² + ··· +h" . Co=1,C =n nC2= n(n−1) h² (2)n→∞ とするから, n≧2 で考える。 (1) より n(n-1) 3" = (1+2)" ≧1+2n+4・ = = 2n²+1 2 n n よって 0 < 3n 2n²+1 n ここで, lim n→00 2n2 +1 理より n = 0 であるから, はさみうちの原 lim = = 0 11+00 31 n(n-1) 2.1 ★h > 0, nCr>0より 右辺の4項目以降の各項 はすべて正の数である。 h=2 とする。 3≧2m² +1> 2n を用 n n 3n 2n2 2n 1 であり lim 20 を用 12-00 2n いてもよい。

数1 （一枚目は問題と回答、二枚目は自分で解いた写真です。） 自分で解いたのは回答と全く違うやり方で、答えも違っています。二枚目のどこがダメなのか教えて欲しいです。

例題 1176 等式と値 00000 0°<0 <180°とする。 4cos0+2sin0=√2 のとき, tan0 の値を求めよ。 CHART & SOLUTION 2-in [大阪産大] 基本 113 三角比の計算かくれた条件 sin20+cos20=1 を利用 tan 0 の値は sind, cose の値がわかると求められる。 そこで かくれた条件 sin'0+cos'0=1 を利用して,sine, cose についての連立方程式 4cos0+2sin0=√2,sin'0+cos20=1 →cosを消去し, sin0 の2次方程式を導く。 を解く。 解答 4cos0+2sin0=√2 を変形して 4cos=√2-2sin0 sin20+cos20=1 の両辺に 16 を掛けて 16sin 20 +16cos20=16 ①を② に代入して ・① 4cos+2sin0 = √2 を条件式とみて、条件式 は文字を減らす方針で COSO を消去する。 4章 13 三角比の拡張 t=- 16sin20+(√2-2sin0)²=16 整理して 10sin2-2√2 sin0-7=0 ここで, sind=t とおくと これを解いてt=- よって 10t2-2√2t-7=0 sin √2+√2 (*) 10 √2 7/2150 2 sin10 0°<0 <180°であるから 0<t≤1 (*) 2次方程式 ax2+26'x+c=0 の解は x= -6' ±√b2-ac a fint. sin 0, cos0 どちらを 消去? sin を消去して coseに ついて解くと, 1 0°<0 <180°から これを満たすのは t= 7√2 10 cos 0= 2 の2 10 7√√2 すなわち つが得られるが, sin0= 10 ①から 4 cos 0=√2-2.7√2 √2 co cos = のときは 2 = ゆえに を求めると √2 10 cos 0=- 10 すなわち 2√2 5 sin0 <0となり適さない。 この検討を見逃すこともあ 0 を消去して, 符号が一定 (sin0 > 0) の sin したがって tan0= 7√2 √2 sin を残す方が, 解の吟味 =-7 COS 10 10 の手間が省ける。

2つの整数解α、β(α≦β)と置く理由がいまいち分かりません。とくにα≦βと置く理由です。 なので、(1)ではそのままα≦βの条件のままkを求めるのに対して、(2)ではα≦βという制限がなくていい理由もピンと来ません。教えてください🙇‍♀️

数学Ⅱ-47 練習 (1) 2次方程式x²ー(k+6)x+6=0の解がすべて整数となるような定数kの値とそのときの整 053 数解をすべて求めよ。 (2) 定数とする。 x2+px+2p=0の2つの解α, βがともに整数となるとき,組 (a, B, p)をすべて求めよ。 (1) 2つの整数解を α, B(α≦B)とする。 解と係数の関係から a+β=k+6,αβ=6 α β は整数であるから, kも整数である。 aβ=6から (a, B)=(-6, -1), (-3, -2), (2, 3), (1, 6) また,k=α+β-6であるから [(2) 類 関西大〕 2 ←重解のとき α=β(1) 練 ←a, B(a≦B) は6の約 - k=-13, 11, -1, 1 数である。 よって k=-13のとき x=-6, -1; k=-11 のとき x=-3, -2; k=1のとき x=2,3; k=1のとき x=1,6 (2) 解と係数の関係から a+β=-p, aβ=2p ...... ① ←第1式から pを消去すると αβ=2{-(a+β)} p=-(a+B) 変形して (α+2) (β+2)=4...... ② ←αβ+2(a+β)+4=4 ここで, p>0であるから, 1 より a+β < 0, aβ > 0 よって α <0.β<0 ←p>0の条件を利用。 ゆえに α+2<2,β+2 <2 α, βがともに整数のとき, α+2, β+2 も整数であるから, ② (a+2, B+2)=(-4, -1), (-2, -2), (-1, -4) よって (a, B)=(-6, -3), (-4, -4), (-3, -6) p = -(a+β) であるから, 求める (α, β, p) の組は (a, B, p)=(-6, -3, 9), (-4, -4, 8), (-3, -6, 9) (1)と同様にα≦βの仮 定をつけて進め, 後から α≦βの制限をはずす, という流れでもよい。

黄色マーカーのところで、 なぜα^2が虚数だと言えるのですか？ また、なぜα^3は虚数じゃないんですか？ 教えてほしいです。

【4】 b を正の数としの2次方程式 bx+1=0が虚数解 α をもつとする。次 の問いに答えよ。 (1)ものとり得る値の範囲を求めよ、 (2) (3) 次の条件 (1) (II)をともに満たす 3次方程式が存在するようなもの値をすべて求め α α をそれぞれ Aα+ B (A, B はもの多項式) の形で表せ. 32 よ (I) 係数はすべて実数である。 実数に、宗教、共役な複素数 (II)α2 とαの両方を解にもつ。 (40点) x²-bx+/- 考え方 (1) 判別式の符号を考えましょう。 (2)xαが方程式f(x)=0の解であることは, f (α) =0が成り立つことと同値です. (3) as は虚数となるので、条件(1) (I)をともに満たす3次方程式が存在するとき、その3次方程式は虚数解を2個も ち、それらの虚数は互いに共役となります。”も解ですから、がと共役かどうかで場合分けをしましょかも x2-bx +1=0 【解答】 (1) ①の判別式をDとすると D=(-b)2-4.1.1=62-4=(b+2)(b-2) ax+bx+cx+d=o abc.da 無の和 2解を α + + 8 = a だったら、係数 ......① x + 3 + 8 x - 右ができ が成り立つ である実数係数の2次方程式 ① が虚数解をもつのでD0,すなわち 2<b<2であり,これと60よりものとり得る値の範囲は 0<b<2 である. ......② (答) (2) αは①の解であるから α-ba+1=0 が成り立つ. よって a²=ba-1 であり,③を用いると α = α α2 =α(ba-1) ......③ (答) a 2-えがのだったり、又は2 =bba-1)-α =(2-1)a-b 2つが消えるような数 3次代の解はPic で、答えは実数になるということは、 共役な複素数をもつ数が目にある xxbx + 1 で割ることに x3 = (x2-bx+1)(x+6) +(62-1)x-b ････④ (答) となる. でくる が得られる.これにx=αを代 入してもよい. 解説 1° 実数係数の方程式 (3) αは虚数であるから, a α = α (1-α) ¥0 である. よって、α キαで あるから, (II)を満たす3次方程式の3つの解のうち2つはα αである. また,αは虚数で, 60であるから,③ より αは虚数である,よって,(I), (II)をともに満たす3次方程式は と共役な複素数(キα2)も解にもつの で、もう1つの解をすると (7) B= a²) が実数 (1) a³ = a² のいずれかが成り立つ かがの共役な複素数 バー(一) 共役な複素数という意味 (ア)のとき, α2+β=a2+αであるから,α2 +βは実数である.また, は実数であ と虚数解 X, Y を実数とし、 |α = X + Yi とすると, α = X-Yi であるから a² + a² = 2X となる. よって, α2 + α は実 数である. 解説 2°解と係数の関係 (I)と解と係数の関係よりα + α + βも実数である. よって るから,④と② より すなわち b2-1 = 0 かつ 0<b<2 (610-6 再 だから、を消したい! →6210であればOK ー ②数13- b2=1 Ocbc2より b=1

青で囲んだ部分が何でそうなるのかが分かりません。 途中式を教えてください🙇🏻‍♀️🙏🏼

基本 例題 14 合成関数の求め方など (1) f(x)=x+2, g(x)=2x-1, h(x)=-x2 とするとき (ア) (gof)(x), (f°g)(x) を求めよ。 (イ) (ho(gof))(x) = ((hog) of) (x) を示せ。 00000 S=(x) 14 (2)2つの関数f(x)=x²-2x+3,g(x)=-2について, 合成関数 (gof)(x) の値 域を求めよ。 指針 解答 x /P.24 基本事項 3 重要 15, 16 \ (1) (ア) (gof(x)=g(f(x)), (f°g)(x)=f(g(x)) として計算。 (イ) h (gof) は, gf を ん とするとhok である。 (ア) の結果を利用する。 1 (2)(gof(x)=g(f(x))=f(x) まず, f(x) の値域を調べる 。 (1) (ア) (gof(x)=g(f(x))=2f(x)-1=2(x+2)-1 =2x+3 (f°g)(x)=f(g(x))=g(x)+2=(2x-1)+2=2x+1 (イ) (gof)(x)=2x+3から (ho(gof))(x)=-(2x+3)2 また 先･･･ ((エ) 後 x gof)(x) gof (gof) (x)=g(f(x)) (h°g)(x)=-(2x-1)2+xsSI+" よって((hog)。f)(x)=-{2(x+2)-1}=-(2x+3)2 したがって (ho (gof)) (x)=((hog) of (x) xlp$I+108= (2) (gof)(x)=g(f(x))= 12 = 1 x²-2x+3(x-1)+2あ ~ この順序に注意! 分子に の ① となる x は (分母)=0 1 ない。 (x-1)+2≧2 ゆえに 0<- (x-1)+2 2 A≧B>0のとき T 40 0< よって, y=(gof) (x) の値域は 0<y≤ 0 <1/1/1/1/1/1/1 B y=(gof) (x) の定義域は実数全体であるから

問3の解き方を教えて欲しいです。

理工学部 生物課題 問題 [4] 次の文章を読んで,以下の問いに答えなさい。 両生類の胚発生において, (a) 原口背唇部は重要な役割を担っている。 原口背唇部の細胞が、このよう 発生のごく初期では、胚内の な特別な性質を獲得するしくみは、おおよそ以下のようなものである(b 全ての細胞の細胞質中で,タンパク質 Aはタンパク質 B と結合し、Bが核内に移行するのを抑制して いる。ところがある時期になると,原口背唇部となる予定領域内の細胞では、周りの細胞からのはたら きかけにより,タンパク質Aはその機能を失う。Aがはたらかなくなると,Bは核内に移行し、核内で タンパク質 C を指定する遺伝子の転写を促し、その結果タンパク質 C がつくられる。 C がはたらくと 細胞は原口背唇部の性質を獲得する。 ショウジョウバエでも、 初期胚の形態形成にはたらくさまざまな遺伝子が見つかっている。前後( 尾) 軸形成にはたらく (e) 調節遺伝子の一つ、遺伝子Dについて調べたところ, 未受精卵の前方に遺伝 現され,前後軸に沿って遺伝子Dにコード 子DのmRNA が局在し, 受精後にこのmRNA が されたタンパク質の濃度勾配ができていた。 突然変異で機能を失った潜性 (劣性) 対立遺伝子と正常 遺伝子Dをもつヘテロ接合体 Ddの雌雄を交配して生まれた次世代には, 発生過程で形態の異常は見ら れなかったが, ホモ接合体dd の雌と野生型DD の雄を交配して生まれた次世代は、 前半部の形態が正 常に形成されずに尾部のように変化した幼虫となった。 野生型 DD やヘテロ接合体 Ddの雌とホモ接合 体dd の雄を交配して生まれた次世代には異常は見られなかった。 また, (d) ホモ接合体dd の雌と野生 型 DD の雄を交配させて得た受精卵の前方に、正常な受精卵の前方から得た細胞質を注入すると, 正常 な形態を もつ幼虫となった。 このように, 雌親の遺伝子型に従って受精卵における表現型が決まる遺伝子を イタ遺伝子と呼ぶ。 ショウジョウバエのからだは,頭部・胸部・腹部からなる。 初期胚において, 分節遺伝子のはたらき によってウと呼ばれる繰り返し構造が形成され、各区画に応じた器官がつくられる。これに対 し、各区画に応じた器官がつくられず, 触角ができるべき場所に脚がつくられる突然変異など、からだ の一部が別の器官に置き換わる変異が知られている。 このような変異は エ 節遺伝子の異常によって起こる。 さまざまな オ と呼ぶ。 エ 遺伝子と呼ばれる調 遺伝子に共通に見られる特徴的な塩基配列を 間 1 空欄 ア オ にあてはまる最も適切な語句を答えなさい。 問2 下線部(a)について。 原口背唇部は神経誘導を行う形成体としてはたらく。一般に,誘導とは どのようなはたらきか, 簡潔に説明しなさい。 問3 下線部 (b)について。 AまたはBを指定する遺伝子が失われたため,それぞれのタンパク質が 全くつくられなくなった胚を用いて以下のような実験を行った。 実験① 初期原腸胚期に、正常胚から,本来原口青唇部を形成する背側部分を切り取り、それを別 の正常な初期原腸胚の腹側領域に移植すると、腹側にもう1つの胚(二次胚)が形成された。 56 問

次の問題で青い線はどの様にして出しているのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス t>0 とする。 放物線 C:y=x2 上の点P(t, t2) における法線を1とする。 法線と放物線 C で囲まれる部分の面積Sの最小値とそのときのtの値を 求めよ。 Thm.3(3次関数) ⑥ y = ax+b+c+d 6 法線･･･ 点P を通り, 点PにおけるCの接線に垂直な直線。 面積Sは 公式の利用 の構図 ⑨3次関数 11 《QAction 放物線と直線で囲む面積は,S(x-a)(x-B)dx=-1/2(B-α)を用いよ IとCの共有点のx座標 α, βを求める。 ⇒ α, β のうち1つは点Pのx座標であることに注意する。 解 y = 2x より 法線lの方程式は 例題 244 Thm, 2 接線と放物線) ④l, y=ax+bxtCl2 S = la (B-x)³ 例題 208 1 y-t² = =- -(x-t) 2t 1 よって y = -x+t² +⋅ 2t 2 法線と放物線Cの共有点のx 座標は = x+ -12- 2t -t- 2t <S(t)) P O t x I 1点P(t, f(t)) における 法線の方程式は | y − f(t) = − -(x- -t) 1 f'(t) 2+1/x-(1+1/2)=0より 2t (x-1){x+ (x−t) { x + (1 + 2/1 ) } = 0 2t IとCは点Pで交わるか この方程式は x = t を解にもつ 1 よって x=t, -t- 2t 244 例題ゆえに S= {(· 1 -x+ t² + x² dx 2t = - L 1 ( x 例題 68 t- − t) { x + ( t + 2 ) } d 1 3 2t x 3 = 1½ { t − (− 1 − 2)}² = 1 ½ (21+ 2+ ) ³ t 2t 2t t0 であるから, 相加平均と相乗平均の関係より s= 2t+ 2t 2t 3 M 5 = 1½ (2² + 1 ) = 1 - (2√2 · 117 ) = 1/3 2/2t⚫ 6 1 これは 2t = すなわちt= 2t のとき等号成立。 2 したがって, Sは t =1のとき 最小値 L(x-a)(x-B)dx — — -(ẞ-a)³ ReAction 例題 68 k 「X+ (X> 0) の最小 X 値は, (相加平均) ≧ (相乗 平均) を利用せよ」

（3）について質問です。 この不等式はどの問いの何を使えば出来上がるのか教えていただきたいです🙇‍♂️

重要 例題 30 漸化式と極限 (5) ・・・ はさみうちの原理 平 づ <a<3を証明せよ。 26 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 00000 数列{an}が0 <a<3, an+1=1+1+αn (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき [類 神戸大] /13-1/12 (3-0)を証明せよ。 /p.34 基本事項 3. 基本 21 指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す 数学的帰納法の利用。 (2) (1) の結果, すなわち an >0, 3-ax>0であることを利用。 (3) 漸化式を変形して,一般項 αをnの式で表すのは難しい。 そこで,(2)で示した 不等式を利用し, はさみうちの原理を使って数列{3-αn の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて pn San≦gn のとき limplimgn=αならば liman=a 710 818 2章 ③数列の極限 なお, p.54, 55 の補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち (1) 0<an<3 解答 ① とする。 811 Famil [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<a<3 =k+1のときを考えると,0<a<3であるから ak+1=1+√1+ak >2> 0 +1+3=3 したがって よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 0<ak+1/30 数学的帰納法による。 <0<a<3 <<ak から√1+α > 1 <a<3から1+αk <2 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 < (2)3-αn+1=2-√1+an 3-an (3-an) 2+√1+an (3)(1),(2) から, n≧2のとき liml n10 0<3-an()(3-as) (1/2) (3-a1)=0であるか 3 lim(3-an)=0 liman=3 したがって 200 <3-a>0であり,an>0 から 2+√1+α >3 n≧2 のとき,(2)から 3-an< (3-an-1) (12/2)(3 an- <(1/2)(3-4) モン 練習 α=2, n≧2のときα an-1 1-12 を満たす数列{an) について 30

数学の質問です (1)の解説の上から3行目の絶対値を含む等式についてなのですが、分母を消去した後、仮に両辺を二乗して計算しようとすると直線の方程式にならないのは必要条件が成り立っていないからでしょうか？

E 11/24 178 基本 例題 111 角の二等分線 線対称な直線の方程式 00000 汁の直線の方程式を求めよ。 M1) 2直線4x+3y-8=0, 5y+3=0 のなす角の二等分線 (2) 直線l:xy+1=0に関して直線2x+y-2=0 と対称な直線 指針 いろいろな解法があるが,ここでは軌跡の考え方を用いて解いてみよう。 (1)角の二等分線→ 2直線から等距離にある点の軌跡 (2) 直線2x+y-2=0上を動く点Qに対し、 直線 l に関して対称な点Pの軌跡と考える。 なお,線対称な点については、次のことがポイント。 2点P, Q が直線 l PQLl => に関して対称 線分 PQ の中点がl 上 p.142 基本例題 88 参照。 (1)求める二等分線上の点P(x,y)は,2直線 4x+3y-8=0,5y+3=0 から等距離にある。 解答 ゆえに |4x+3y-8|_|0.x+5y+3| よって 4x+3y-8=±(5y+3)(*) = √42+32 √02+52 したがって、 求める二等分線の方程式は 4x+3y-8=5y+3から 4x-2y-110 4x+8y-5=0 4x+3y-8=-5y-3から (2) 直線 2x+y-2=0 上の動点をQ(s,t)とし、直 線 l に関して点 Q と対称な点をP(x, y) とする。 (x,y) h YA 3 基本88,110 .P A A 0 4x+3y-8=0 5y+3=0 3 (12)05 2 (*) |A|=|B|のとき,両辺 を2乗して A2=B2 すなわち 直線 PQ は l に垂直であるから t-y.1=-1 S-X (A-B)(A+B)=0 よって s+t=x+y ゆえに A=±B 線分 PQ の中点は直線上にあるから笠に代入さ x+s y+t 10 2 よって s-t=-x+y-2: ② ①,② から A0Q(s, t) s=y-1,t=x+1 点Qは直線2x+y-2=0上を動くから 6308-2 2s+t-2=0 これに s=y-1,t=x+1 を代入して 求める 直線の方程式は 2(y-1)+(x+1)-20 (1)1 (1)1 すなわち x+2y-3=0 P(x,y) 0 1 |2x+y-2=0 放物線y=x

19.ア　20.イ　21.エ　22.ウ ⑵と⑷の考え方がわからないです お願いします

4. 大人用のいすと子供用のいすを合わせて6脚, 円形に並べる場合と1列に並べる場 合を考える。 ただし, 円形にいすを並べるとき, 回転して同じ配列になる場合は同じ ものとする。 また, 大人用のいす同士, 子供用のいす同士は互いに区別ができないも のとする。 [解答番号 19~22] (1) 大人用のいす3脚と子供用のいす3脚を1列に並べる並べ方は 19 通りある。 (2)大人用のいす3脚と子供用のいす3脚を円形に並べる並べ方は 20 通りある。 (3)大人用と子供用のいすを合わせて6脚になるすべての場合を考えて1列に並べる 並べ方は21 通りある。 ただし, すべて大人用のいす, または子供用のいすに なる場合も含むものとする。 (⑥ 大人用と子供用のいすを合わせて6脚になるすべての場合を考えて円形に並べる 並べ方は22通りある。ただし,すべて大人用のいす,または子供用のいすに なる場合も含むものとする。 19 ア.20 イ 30 ウ.120 I. 720 20 ア.2 イ. 4 ウ.24 I. 120 21 ア.28 イ. 56 ウ.62 I. 64 22 ア.8 イ. 12 ウ.14 I. 32