この０<はどこから来てるんですか？n^2/2^nの最小値ならnに4を代入した1じゃないんですか？どうして1<=にしないんですか？

28 — 数学Ⅲ 第3 分数型) と極限 PR nは4以上の整数とする。 ③20 不等式 (1+h)" >1+nh+ n(n-1) h²+ 2 6 2" (1) lim (2) lim n2 ugu n-8 22 与えられた不等式において,h=1 とすると 2">1+n+ n(n-1) n(n-1)(n-2) 2 6 n(n-1) (1) ①から 2"> 2 2nn-1 両辺をnで割ると ここだけでた。 n 2 n-1 lim 2 =∞ であるから (2) ①から 2"> n(n-1)(n-2) mil 2n lim =8 n→ ∞ n n(n-1)(n-2) (h>0)を用いて,次の極限を求めよ。 binf. 与えられた不等式 (1+h)=2 T=0 inCh (二項定理)から得られる。 mil n>0であるから不等 号の向きは変わらない。 an>bnで limb = 0012 ならば liman=8 110 (2) で定められ PR 21 6 Vie <a>6>0のとき 1 6 両辺の逆数をとると 2n n(n-1)(x-2) 2 'n' 6m² 両辺に n' を掛けると 22 n² 6n よって 2n n2-3n+2 2n n(n-1)(n-2) a 言 20 であるから不等 号の向きは変わらない。 (n-1)(n-2) =n2-3n+2 G 6n ここで, lim =lim n→ ∞ n²-3n+2 n→∞ 6 n 3 2 + take (1) n -= 0 であるから n² lim n→∞ n² 2n 2 = 0 はさみうちの原理 a a1=2, an+1= 5an-6 2an-3 (n=1, 2, 3, ･･･) で定められる数列{an} について (1)6m= an-1 an-3 とおくとき,数列{bm} の一般項を求めよ。 (2)一般項 αと極限 liman を求めよ。 n→∞ 5an-6 Lint. 1 liman = α と仮定 (1) bn+1= an+1-1 2an-3 an+1-3 5an-6 1218 5an-6-(2an-3) すると, lim 2 5an-6-32a

問題44の(3)や、問題45の(2)のような式変形を、こんな天才的な発想出来ないでしょ！と思うのは僕だけでしょうか。解説を見れば何をしているのかはわかるのですが、問題によってやり方も様々で、慣れとかでどうにかなるものなのかと思ってしまいます。 何かコツや、式変形の対応デッキ... 続きを読む

基礎問 76 MAN AV 44 はさみうちの原理(I) 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nに対して, 2">n を示せ. (2) 数列の和 Sm= (1)をnで表せ。 (n=k(k≧1) のとき,2">k と仮定する. 両辺に2をかけて, 22k ここで, 2k-(k+1)=k-1≧0 (≧1 より) ..2'+'>2k≧k+1 すなわち, 2+1>k+1 よって, n=k+1 のとき, ① は成りたつ. (i), (ii)より, すべての自然数nについて, 2">n は成りたつ. (3) lim Sm を求めよ. (1) 考え方は2つあります。 ... 1 2 n (2) Sm = + 4° 4' +・・・+ ...... ② 4"-1 1/Sn= 1 n-1 n +・・・+ + ......3 4₁ 4"-1 4" ② ③ より 3 (IIB ベク4 ) Sn= + 1 1 n -(+) +...+ n 4' 4"-1 -Sn= 4 1 4" I. (整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考えます。 II. 自然数に関する命題の証明は数学的帰納法. (IIB ベク137 (2) 本間のΣの型は, 計算では重要なタイプです. (IIB ベク121 S=Σ(kの1次式)rk+c (r≠1) は S-S を計算します。 (3) 極限が直接求めにくいとき, 「はさみうちの原理」 という考え方を用います。 bn≦a≦cm のとき .. Sn= n (3)(1)より2">n だから, (2")'>n . 4">n²=0<< 20< n 4 4-1 n lim40 だから、はさみうちの原理より lim 11-∞ n n - 4-1 -=0 limb= limcn=α ならば liman = α →00 11-00 この考え方を使う問題は,ほとんどの場合, 設問の文章にある特徴がありま す. (ポイント) さらに, lim lim (14) "=0 より lim.S,=- 16 11-00 9 「ポイント 解答 (1) (解Ⅰ) (2項定理を使って示す方法) (x+1)"=2,Chr" に x=1 を代入すると k=0 2"=nCo+mCi+nCz+... +nCn n≧1 だから 2"≧Co+nCi=1+n>n .. 2">n (解II) (数学的帰納法を使って示す方法) 2">n ...... ① (i) n=1のとき (左辺) =2, (右辺) =1 だから, ①は成りたつ 演習問題 44 極限を求める問題の前に不等式の証明があれば, はさみうちの原理を想定する 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nについて, 不等式 3"> n" が成りたつこと 数学的帰納法を用いて証明せよ。 "k =215730 (n=1,2, …) とおく。このとき, (2) Sm= 2 k=1 1 n 3 3+1 (3) lim Sm を求めよ. 11-00 が成りたつことを示せ. CS CamScanner 第4章

極限です。この問題の(4)ですが、なぜr<-1なのに振動とならずrに収束するんですか？？どなたか教えていただきたいですm(_ _)m

引 42 数列の極限 (II) (無限等比数列) mil - Je At mil-J (r≠-1) で表される数列の収束, 発散を次の各場 mn+1 第n項が 1+rn 合について調べよ. (1) r=1 (2) -1<r<1 (3) r>1+S (4) r-1

かっこ2は数列と言われてないのに0より大きいってなんで分かるんですか？

基本 例題 20 極限の条件から数列の係数決定など 00000 (1) 数列{az} (n=1, 2, 3, ......) が lim (3n-1)a=-6を満たすとき, limna = である。 8818 17100 [類 千葉工大] (2) lim(n+an+2-n-n) =5であるとき、 定数αの値を求めよ。 p.34 基本事項 基本 18 指針 n (1) 条件 lim (3n-1)a=-6を活かすために, nan3n-1)円× と変形。 3n-1 数列 1377-1} は収束するから,次の極限値の性質が利用できる。 lima=a, limb=β⇒lima,b=aβ (α,βは定数) 11-00 818 →∞ (2)まず、左辺の極限をαで表す。 その際の方針は.38 基本例題18 (3) と同様。 0 (1) nan=(3n-1) anx n であり Ana を収束することが 3n-1 lim(3n-1)an=-6, 72 00 n 1 1 lim =lim わかっている数列ので 表す。 72100 3n-1 72→80 1 3 3 7 1 よって lim nan 7210 =lim (3n-1)an×lim n→∞ 1 =(-6). =-2 3 (2) lim(√2+an+2-√n²-n) 12-00 (n²+an+2)-(n²-n) =lim 72100 =lim n→∞ =lim √n²+an+2+√n²-n (a+1)n+2 n²+an+2+√n²-n (a+1)+ 22 nco 3n n n 収束するやつ。 + 2 a+1 12 n→∞ a 2 1 + - + + 1- n n² よって、条件から a+1 -=5 したがって 2 a=9 極限値の性質を利用。 かけられる! ab mil 分母分子に √ntan+2+vn-n を掛け,分子を有理化。 分母分子をnで割る。 n> 0 であるから n=√n² αの方程式を解く。 ■ (1) 次の関係を満たす数列{a} について, liman と limna を求めよ。 (ア) lim (2n-1)an=1 7178 118 (イ) lim n→∞ 2an+1 an-3 =2 n→oo (2) lim(√m²+an+2-√n²+2n+3)=3が成り立つとき, 定数αの値を求めよ 8+U (2)摂南

青線部の所の意味が分かりません！

(?) (2)) 基本 例 20 極限の条件から数列の係数決定など 00000 ) 数列 {an) (n=1, 2, 3, .....) が lim (3n-1)α=-6を満たすとき. limna である。 918 [類千葉工大] lim(n+an+2-√n-n)=5であるとき、定数αの値を求めよ。 p.34 基本事項 2.基本 18 針 (1) 条件 lim (3n-1)a=-6を活かすために, na-3n-1) α × n 変形 3n-1 77 数列 3n-1 は収束するから、次の極限値の性質が利用できる。 liman=α, limbn=β⇒lima,b=aβ (a,βは定数) 700 818 (2) まず 左辺の極限をαで表す。 その際の方針は p.38 基本例題18 (3) と同様。 41 (1) nan=(3n-1) anx n であり Ana を収束することが 3n-1 lim(3n-1)an=-6, n 1 1 lim =lim わかっている数列ので 表す。 72-00 3n-1 12-00 1 3 3 ? n 数 2 2章 数列の limnan=lim(3n-1)anxlim よって 72100 12-00 1 =(-6). =-2 2) lim(√n2+an+2-√n²-n) n100 (n+an+2)-(n²-n) =lim n11 √n²+an+2+√n²-n =lim 718 (a+1)n+2 √n² +an+ 2 + √√n ² -—n a n (a+1)+ 2 2 n 1+ + + 1- n² n n-co 3n-1 =lim a+1 N18 1 2 n a+1 よって、条件から =5 2 したがって a=9 mil-mila 極限値の性質を利用。 分母分子に √√n²+an+2+√√n²-n を掛け、分子を有理化。 分母分子をnで割る。 n0 であるから n=√n² αの方程式を解く。 次の関係を満たす数列 {az} について, liman と limnan を求めよ。 ア) lim (2n-1)an=1 12-00 81U (イ) lim n→∞ 2an+1 an-3 =2 n→∞ lim(√m²+an+2-√n²+2n+3)=3が成り立つとき, 定数 α の値を求めよ。

グラフで(2)を解いたんですけど∞になってしまって、この時ってグラフで解けないってことですか？

基本例題19 において, 点 (an, an+1) は直線 2 y=1/2x+1 ① 上にある。更に, 直線 y=x ② smil 818 YA 極限値 (a, a) a .... as a3 an 1 a1 10 a a2a3.....α x を考えて,まず点 (a1, a1) からそのまま真上に移動する と直線 ①上の最初の点 (ai, α2) に到達する。 そこから 矢印に従って右へ移動すると直線②上の点(a2, az) へ, 更に、そのまま真上に移動すると直線①上の次の点 (az, d3) へ到達する。 これを繰り返すと, 右図のように, 点 (an, an+1) はある点に近づいていくことがわかる。この点は直線 ①と直線②の交 点 (3, 3) である。 これは, 数列 {an} の極限が3であることを示している。

漸化式の変形の仕方？が分かりません💦

43 次の式で定められる数列{an} の一般項を求め,その極限 $30 *(1) a₁ = 1, an+1=an+6 (n = 1, 2, 3, ....) (2) a₁ = 1, an+1 = *(3) a₁ = 0, an+1 = SPIRAL 3' 3 an+1 (n = 1, 2, 3, ) [ an+3 (n=1, 2, 3,.....) - 1 2

1行目の変形の仕方を教えてください🙏

5 2 an+3 (n=1, 2, 3, ...) で定められる数列{an}につい 例題 a1=3, an+1 = 1 て, liman を求めよ。 81U 数 視点 一般項an は,どのような式で表されるだろうか。 解 与えられた漸化式を変形すると an+1-6 = (an -6) 2 ここで, α-63-6=-3 であるから, 数列{an-6}は初項-3, 公比 1.2 の等比数列である。 2 10 よって an-6= 3 1n-1 したがって an=6-3. 1 n-1 2 n-1 lim == =0 であるから n→∞ 2 liman = 6 n→∞

ルーズリーフのやり方でやったんですけど、そっからどうすればわからなくて、解答と何が違うのかも含めて答えてくれると嬉しいです！

26 漸化式と極限(3) ・・・ 分数形 ... 数列{an} が α1=3, An+1= 3an-4 an-1 によって定められるとき [類 東京女子大] (1) bn = 1 An-2 とおくとき, bn+1, bn の関係式を求めよ。 (2) 数列{an} の一般項を求めよ。 (3) liman を求めよ。 n→∞ p.36 まとめ, 基本 26 指針 針 (1) おき換えの式bm= 1 an-2 ①の an-2に注目。 漸化式から bn+1 (= 1 an+1-2 の形を作り出すために, 漸化式の両辺から2を引いてみる。 なお,①のおき換えが与えられているから, an≠2としてよい。 (2) まず (1) の結果から一般項bnをnで表す。 (1) 漸化式から an+1-2= 3an-4 解答 -2 an-1 検討 ゆえに an-2 an+1-2= an-1 両辺の逆数をとって 1 an-1 An+1-2 An-2 an+1= SE 分数形の漸化式について 一般項を求める方法は, p.36 の ⑥参照。 rants panta そのとき,特 1 1 よって = +1 an+1-2 an-2 性方程式 x= rxts の解 px+q したがって bn+1=6n+1 がx=α (重解)ならば, (2) (1)より, 数列 {bn} は初項b1=1, 公差1の等差数列で bm= あるから b=1+(n-1)・1=n 1 (または an-a bn=an-a) とおくと, よってie an- (3) liman=lim n→∞ n- 1 1 +2=-+2 = 1 bn +2=2 -2)= n $8 般項 αn が求められる。 CTUL 1 |bn= an-2 から -milan- -2= 1 bn

漸化式と数列の極限です！ 急に二次方程式の話が出てきて混乱してます^^; 初っ端からよくわからないので、教えてください！！ よろしくお願いします！

例題 漸化式と数列の極限 (1) 3 次の漸化式で定められる数列{a}の極限を調べよ。 a1= 1, a2= 3,30n+2= 4an+1-an (n=1,2,3, ...) 解 漸化式 30m+2=4Qn+1 -am は, 2次方程式 3x=4x-1 の解x = 1, 1 3 を用いて,次 の2通りに変形できる。 1 Qn+2an+1 = -(an+1) -an) ・① 3 1 1 an+2 an+1 = an+1 an 3 3 EA ①より,数列{an+1-an}は,初項 da-a1 = 3-1=2,公比 1.2 の等比数列であるから n-1 1 an+1-an=2 3 ③ 1 1 a1= 3- 3 3 ・1= 公比1の等比数列 ②より、数列{ame-1/2an} は、初項42- 8 3 であるから 1 8 an+1- an = 3 3 2 8 ④ ③ より an = ・2・ 3 3 (1/3) よって an=4- lim (1) *-* n-2 n-1 3 = 0 であるから liman=4 11-00 ④