306 第7章 積分法の応用
応用問題 3
xが1<x<e を動くとき
f(x)=$'\e-xdt
が最小となるようなxの値と,その最小値を求めよ.
精講
式の意味を正しく理解するのが難しい問題です。
まず, インテグラルの中に注目しましょう.tでの積分なので、
れはtの関数と見なければなりません.ここでは,tは変数は定数として
ふるまいます。
Textでの分
tの関数(zは定数)
ところが,いったん定積分が終わってしまえば,tは消えæだけが残るので
これは,xの関数となります。つまり、式全体として見れば,xは変数として
ふるまいます。
le-aldt
の関数
このように、1つの式の中でを「定数」 と見る視点と「変数」と見る視点
が混在するのです.問題を解くときは,今はどの視点で作業をしているのかを
正しく見分ける必要があります。
解答
xを 1 <x<eを満たす定数と見る. ef-xの
符号は,右図より
y=et
≦t≦lox のとき ef-x≦0
e
定数
logx≦1のときe-x≧0
Xx
y=x
であるから
e-x={-
-(e-x) (0≤t≤logx)
O logx 1
よって
•logx
e-x (logx≤t≤1)
ƒ (x) = ['*** \e'—x\dt+fo«,\e'-x\dt<
•logx
log.x
積分範囲を分割
= √ * (= (e' - x)} dt + √ (e' - x) dt <***\±F**
logx
