3 三角関数の加法定理
283
157 図形への応用
例題
長さ1の線分 ABを直径とする円周上の1点をPとし,
π
/PAB=0 とする。S0Sのとき, 3AP+4BPの
6
A
B
最大値と最小値を求めよ。
にあ
方 三角関数の合成公式 asin0+bcos0=Va*+°'sin(0+α) を利用する。
S0Sにおける 0+a=x の変域を調べ, y=Va+b°sinx のグラフで考える。
の
π
解答 ZAPB=
;より、
AP=ABcos0=cos0, BP=ABsin0=sin0
2
3AP+4BP=3cos0+4sin0=yとおくと,
y=4sin0+3cos 0=5sin(0+α)
Y4
15
sina= cosa- (0<aく)
3
4
ただし,
5
5
2
0
0+α=x とおくと, y=5sinx であり,
第4章
-<e より,
6
α+-SxSa+
6
a
-1-jaS-1-8
3
mnふ
1
3
12
より,sin。
π
また,
2.
<sina<sin
e+, a+の値は求め
40
られないので, 値の範囲を
SOしぼりこんでおく。
5
2
6°
となるから、くaく
よって、くa+i2,2くa+2
6
4
5
7
π
12 2 3. 12
ソ=5sinx のグラフは右の図のようになる。
3
へ
最大
最小
π
したがって、yは x=0+α=3, つまり,
y=5sinx
0=-a のとき最大となり, 最大値は,
00N
2
5sin号=5
(a+
π5
T7
3/12212
2
また, sin(a+号) <ainォ=sin p<sin(o+号)より、ソは
5
-=sinってくsi
a+)より.
127ー
*=0+α=α+,つまり, 0=- のとき最小となり,最小値は,
127
(α
3
5sin(α+)-5(sinacos +cosasin-
π
+cos asin
6
6
3 V3
2
4
1
3V3 +4
5
5 2
2
以上より,最大値5, 最小値
3/3+4
2
練習
例題157 において、 0<0<4 のとき, 2AP+BP の最大値と最」
157
S
O
V
Ve。
