基本 例題 59
確率変数 ax + by の分散
00000
「確率変数X,Yの確率分布が次の表で与えられているとき,分散
(x+2), V(5X-Y) を求めよ。 ただし, X と Yは互いに独立であると
する。
X
P
71
0
1
2 計
0 1 2
4 1
1
P
24
14
214
443
12 12 12
CHART & SOLUTION
確率変数 ax + by の分散
XとYが互いに独立ならば
V(ax+bY)=a²V(X)+b²V(Y) ....
1
p.438 基本事項 2
2章
この公式もXとYが互いに独立であるときに成り立つことに注意する。
また,差の形のものは和の形に直してから,公式を利用する。例えば,5X-Y は
5X-Y=5X+(-1)Yと考えて,V(5X-Y)=52V(X)+(-1)2V(Y) とする。
これを V(5X-Y)=52V(X)-12V(Y) とするのは誤り。
解答
確率分布から X の期待値 E (X),分散 V (X) は
7
確率変数の和と積,二項分布
E(X)=0・・
+1・
12
7 +1.41/2+2 • 12 = 2
1_1
(変数)×(確率)の和
7
4
・+22・
12
V(X)=02..
v(x)-(++++)-()-1-1-2
(X2の期待値)
4
ー ( X の期待値)2
また,Yの期待値 E (Y), 分散 V (Y)は
=1
E(Y)=0.1+1.
0.1+1.+2.11
4
V(Y)=(02.14+12.12/+22.14)-1-28-1-1/2
XとYは互いに独立であるから
5
29
V(X+2Y)=V(X)+2°V(Y) = 1/24 1/2=2827
131
この断りは重要。
V(X)+2V(Y)は誤り!
V(5X+(-1)Y)
V(5X-Y)=5V(X)+(-1)2P(Y)=25.1/72+/12/2
=
12