Question

めろ

数bの確率の問題ですなぜ互いに独立だと黄色い線の部分のような式になるのですか？

基本 例題 59
確率変数 ax + by の分散
00000
「確率変数X,Yの確率分布が次の表で与えられているとき,分散
(x+2), V(5X-Y) を求めよ。 ただし, X と Yは互いに独立であると
する。
X
P
71
0
1
2 計
0 1 2
4 1
1
P
24
14
214
443
12 12 12
CHART & SOLUTION
確率変数 ax + by の分散
XとYが互いに独立ならば
V(ax+bY)=a²V(X)+b²V(Y) ....
1
p.438 基本事項 2
2章
この公式もXとYが互いに独立であるときに成り立つことに注意する。
また,差の形のものは和の形に直してから,公式を利用する。例えば,5X-Y は
5X-Y=5X+(-1)Yと考えて,V(5X-Y)=52V(X)+(-1)2V(Y) とする。
これを V(5X-Y)=52V(X)-12V(Y) とするのは誤り。
解答
確率分布から X の期待値 E (X),分散 V (X) は
7
確率変数の和と積,二項分布
E(X)=0･･
+1・
12
7 +1.41/2+2 • 12 = 2
1_1
(変数)×(確率)の和
7
4
・+22・
12
V(X)=02..
v(x)-(++++)-()-1-1-2
(X2の期待値)
4
ー ( X の期待値)2
また,Yの期待値 E (Y), 分散 V (Y)は
=1
E(Y)=0.1+1.
0.1+1.+2.11
4
V(Y)=(02.14+12.12/+22.14)-1-28-1-1/2
XとYは互いに独立であるから
5
29
V(X+2Y)=V(X)+2°V(Y) = 1/24 1/2=2827
131
この断りは重要。
V(X)+2V(Y)は誤り!
V(5X+(-1)Y)
V(5X-Y)=5V(X)+(-1)2P(Y)=25.1/72+/12/2
=
12

Answer 1

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

互いに独立だからV(x+2Y)
ではなく、
互いに独立だからV(x+2Y)=V(X)+2²V(Y)のような和に分けることができる、

ということです