線を引いたところがなぜそうなるのか分かりません💦解説お願いします🙇🏻‍♀️

*155 n は正の整数とする。 n≧4のとき, 不等式n!> 2” が成り立つことを数 学的帰納法を用いて示せ。 美 [類 08 富山県大]

数学II、不等式の領域の分野の最大・最小を求める問題を解いていて思ったのですが、xとyの式が与えられていて、その式の最大値や最小値を求めよ、という問題では、下の写真のようにその値が成り立つ時のxやyの値も常に求めなければならないのでしょうか。(下の写真の問題では、その時のx... 続きを読む

132 数学Ⅱ (2)√3x+y=k ...... 1 とおくと,これは傾き -v3y切片kの直線を表す。 図から、直線のが円パー1に、領域に含まれる部分で 接するとき,kの値は最大になる。 ①とx+y=1 を連立して よって x2+(-√3x+k)=1 4x2、3kx+k-1=0..... ② D=(-√3k)2-4(k-1)=-k+4 xの2次方程式 ② の判別式をDとすると 直線 ①が円に接するための条件は D₁=0 よって k2+4=0 ゆえに k=±2 接点が領域Dに含まれるとき, 接線 ①のy切片は正であるか ら k=2 -2√3.2√3 このとき②の重解は x=- 2.4 2 ①から y=√3. √3 +2= 2 また, 直線 ① が円(x-1)+(y-1)=1 に,領域 D に含まれる 部分で接するとき, kの値は最小となる。 ①と(x-1)+(y-1)=1を連立して よって (x-1)2+(-√3x+k-1)=1 4x2-2(√3k+1-√3)x+k-2k+1=0 3 点 求める [4<(· すなわ また ←kはこの す領場 ただし ←2次方 ax2+bx+c をもつとき x=-6 2 ゆ D a xの2次方程式 ③の判別式をDとすると D2 4 =(√3k+1-√3)-4(k2-2k+1) =-k+2(√3+1)-2√3 直線 ① が円に接するための条件は D2=0 よって -k2+2(√3+1)k-2√3=0 これを解いてk=√3+3,√3-1 接点が領域 D に含まれるとき、接線 ①のy切片は1より小さ =√3-1 いから このとき,③の重解は x=- -2{√3(√3-1)+1-√3}_2-√3 2.4 = 2 ①から したがって x= y=-1/3.2-13 2 +√3-1=- 1 2 12.y=1/2のとき最大値2; 2-√3 x= 2 y= 11のとき最小値 3-1 ←R

式変形が分かりません

また、等号成立は、 釜=等かつ4(+4)=52 3 つまり 2 == のとき

高一数1 ☆の場合分けアイウで何をしてるかが分かりません！どういう場合分けなのかグラフで示して頂きたいです！よろしくお願いします🥲

4 (選択問題) (配点 20点) (1)5点 (2) 9点 (3)6点 kを定数とし、2つの関数 がある. f(x)=x2-z-6 g(x)=x2-kz+ 2k + 1 (1) 不等式 f(x) <0の解は2<x<3 である. (2) g(x) = 0 が異なる2つの実数解をもつようなんの値の範囲は である. k<4-2v5またはk>4+2V⑤ (3) g(x) = 0 が異なる2つの実数解をもち, そのうちの一方のみがf(x) <0 を満たすようなkの値 の範囲は である. 【解答】 5 k≤ または 10 4 (1)x2-z-6=(x+2)(x-3) より f(x) < 0 の解は 2<x<3 (2) (g(x)=x2-kz+2k+1=0が異なる2つの実数解をもつ条件は (判別式)>0が成り立つこと であるから k2 - 4(2k + 1) > 0 つまりk2 - 8k-4>0 よって、 求めるkの値の範囲は k<4-2√5k > 4+2√√5...(*) (3)k (*)を満たすときに放物線y=g(x) がx軸と2<x<3の範囲でただ一つの共有点をもつ ようなkの値の範囲を求めればよい. g ●¥324 4k +5, y- =-k+10であることに注意する. 5 (ア) g(-2) < 0 のとき g(3)>0 が条件であるからk<-- かつk10 より 5 4" (イ)g(-2) = 0 のときg(x)=x2+-- 3-2 4 5 k <-- 4 1 = (z+2)(4-3) であるからg(x)=0はæ= ☆ 条件を満たす解にもつ. 5 (ウ)g(-2) > 0 のとき g(3) < 0 が条件であるからk> かつ かつk 10 より 4 k > 10 以上より、 求めるkの値の範囲は k≤ VII 5 または10

矢印から下の解説が分からないです、、

(5)実数x,y,zがx+y+z=18を満たしながら変化するとき,2x+y+2z が最小値をとるのは,(x,y,z)=⑦ のときである。

写真の付箋に書いてあるところが分かりません 教えていただけると嬉しいです…！

第2章 確率分布と統計的な推測 (103) B2-7 B2.5 赤い本が2冊, 青い本がn冊ある。このn+2 (冊)の本を無作為に1冊ずつ選び、本棚に 左から並べていく。2冊の赤い本の間にある青い本の冊数を Xとするとき,Xの平均と分 散を求めよ べ方は, (n+2)! 通りである. n+2 (冊) の本は区別がつくとすると, これらすべての 2冊の赤い本の並べ方は2通り X=k (2冊の赤い本の間に青い本がん冊並ぶとき,ただ し, 0≦k≦n) のとき, すべての本の並べ方を考える. nPk= n! (n-k)! よって, (+2)! ここで, (分子)=2. n! (n-k)! (n-k+1) ・(n-k)! 2冊の赤い本の間に, n冊の青い本からk冊を選んで並べ る方法はP通り 赤い本2冊とその間の青い本冊を1組として,この1組 残り冊) の青い本を並べる並べ方は (n-k1.通り 2139 以上から,X=kとなる本の並べ方は, 2.„P (n-k+1)! 通りである. P(X=k)=2mPkn-k-1)! を利用する。 なぜ? =2n..(n-k+1) 分母)=(n+2)(n+1).n!」 PAGE A OS X これらから, P(X=k)=- 2(n-k+1) (n+2)(n+1) ......① a よって, X の平均は、 OS 2 EX) = 0･･ =+k-- 2(n-k+1) a EIL I n+2 (n+2)(n+1) ①より) 2 2 (n+2)(n+1){(n+1)k-2k] 2 (+2) (+1) (n+1) ・1/2月(月+1) (n+2)(n+1) = = n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(2n+1)} 2 P(X=0)=- n+2 |k=n(n+1) n 2n+1 n+1- n+2 nI 3 また,X'の平均は, 2 n+2= (n+2)(n+1) E(X2)=02. -+Σk².- 2(n-k+1) (+2)(n+1){(n+1)宮が一部 2 T(n+2)(n+1) k=1 {(n+1)./ln(n+1)(2n+1)62 -1㎡(n+1)} n_n(n+1) サの場合 (1) =(n+1)2 の 上取り出す 15 となn(n+1)/2n+1 から2 n+2 3 2 6 その よって, Xの分散は, n(n+1) V(X)= n 6 (3)²= n(n+3) 18 (V(X)=E(X2)-{E(X)} さいこ 2でから4個

基本例題の方では、互いに素でない⇔素数を公約数にもつ、と書かれてあるのですが、Exercisesの方の問題では、公約数gが素数と書かれてありません。なぜなのか教えて欲しいです🙏

530 |基本例題 121 互いに素に関する証明問題 (2) 000 自然数 α, bに対して, aとbが互いに素ならば, a + b と abは互いに素である。 ことを証明せよ。 p.525 基本事項 2 重要 121 a+b abの最大公約数が1となることを直接示そうとしても見通しが立たない。 そこで,背理法(間接証明法)を利用する。 →a+b と ab が互いに素でない, すなわち, a+bとαbはある素数」を公約数 にもつ,と仮定して矛盾を導く。 なお、次の素数の性質も利用する。 ただし,m, n は整数である。 mn が素数 』 の倍数であるとき,またはnはかの倍数である。 1 最大公約数が1を導く CHART 互いに素であることの証明 背理法 (間接証明法)の利用 a+b と ab が互いに素でない, すなわち, a + b と αbは 解答ある素数を公約数にもつと仮定すると とnが互いに素で ない a+b=pk D, ab=pl ② と表される。 ただし, k, lは自然数である。 ...... mnが素数を 公約数にもつ ② から, α または は の倍数である。 α a=pmとなる自然数がある。 の倍数であるとき, = 1 このとき,①から,b=pk-a=pk-pm=p(k-m) となk-mは整数。 りもの倍数である。 (I+\)8=8+18=8+ (I+s)=( これはaとbが互いに素であることに矛盾している。(+0) Ict bがpの倍数であるときも,同様にしてαはの倍数であa=pk-b り,aとbが互いに素であることに矛盾する。 =pk-m') したがって, a+bとabは互いに素である。)=+ ( ' は整数) 参考 前ページの基本例題120 (2) の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」は,整数 の問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。 問題 素数は無限個存在することを証明せよ。 [証明] 2以上の自然数とする。 +1は互いに素であるから, n=n (n+1) は異な る素因数を2個以上もつ。 同様にして, n=n(n+1)=ni(n+1) (n2+1) は異なる素因数を3個以上もつ。 「この操作は無限に続けることができるから,素数は無限個存在する 素数が無限個存在す

2枚目の赤線のところがどうしてこうなるかわかりません🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️ よろしくお願いします、、！

2022年度 数学 27 問題3の解答は解答用紙 3 に記入しなさい。 3 以下の問いに答えなさい。 ただし, 空欄 (あ) 数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい。 ~ (こ)については適切な 関数 f(t) を f(t) = -2sin(2t-™)+4sint と定める。 (25点) (う) となる。 ただし, ○(1) 方程式 f(t) = 0 の解を, 0≦t≦2 の範囲で求めると,t= (い) (あ) (あ) < (い) (う) とする。 自然数nに対し、関数 Hn(x) を x+x Hn(x)= |f(t)\dt (0 ≤ x ≤2T) (2) と定める。 (2) H₁(0) == (え)である。 △(3) 0≦x≦の範囲を動くとき, H1 (z)の最小値は(お) 最大値は ' (か) である。また,x≦x≦2の範囲を動くとき,H1(x) の最小値は (き) 最大値は(く)である。 (4) 自然数に対し, H2k(z)をkを用いて表すと, H2k()=(け)である。 X (5) aを実数の定数とする。方程式 H2021(x)=aが,0≦』≤ 2ヶ の範囲で異なる 3つの解をもつとき, a=(こ)である。 (こ)の値を導く過程も所定の場所に書きなさい。

数1の「方程式•不等式」の問題です。 7行目くらいの「ゆえに、…」のところまでは理解できましたが、場合分けの所からがよく分かりません。 解き方や解くポイントを教えてください🙇‍♀️

35 (0) (0) (0.1-) (D) 1x (0 S-) (08-) (9) (C) 26* 実数xの方程式x(k-1)x-k=0とx-2kx+k=0 がただ1つの共 通解をもつときんの値は小さい順にん = |ア およびん=イである。 k = 7 のとき,共通解はx= ウ である。 k = イ のとき,共通解はx= I である。 青山学院大・改一

【数学】数列の問題です。 (ⅳ)までは解けたのですが、(ⅴ)の「ス」の解き方が分からないので教えていただきたいです🙇‍♂️

2 (30点) aとdを整数とし, 初項 α, 公差 d の等差数列{a} を考える. 自然数んに対して, 初項から第2k項までの項のうち、奇数番目の項の和を Sk, 偶数番目の項の和を Tk で表す. 次 に適する解答を, 解答用紙の決められた場所に記入せよ. の (i) この数列の第 (2k-1) 項を, a, d, およびんを用いて表すと ケ である. a+(2-2)d by (ii) Ska, d, およびんを用いて表すと コ である. k{a+ (k-1)d} (Ⅲ) Tk を a, d, およびんを用いて表すと サ である. k(a+kd) (iv) Tk - Sk= シ である. Time Red create some The quality (v) 2以上のある自然数kに対してSk=35,Th=77が成り立つという. このとき k = ス であり,さらに数列{a} の一般項をnを用いて表すとan = であ る. 7 6n-37