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基本 例題 31
an+1=pan+(nの1次式) 型の漸化式
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
α = 3. an+1=2an-n
CHART & SOLUTION
漸化式 an+1=pan+(nの1次式) (カ≠1)
2
1 階差数列の利用
an+1-f(n+1)=p{an-f(n)} と変形
②の変形については右ページのズーム UP を参照。
下の解答は口の方針による解法で,別解は②の方針による解法である。
解答
an+2=2an+1_(n+1),
与えられた漸化式で、
am+1 =2ann
辺々引いて
また
bn=an+1-an とおくと dn+1=26-1
b=az-a=(2・3-1)-3=2
ante-anti=2(anti-an)-1
n+1とおく。
... ①4
①から
bn+1-1=2(bn-1)
α=2α-1 を解くと
更に
b-1=1
a=1
ゆえに、数列{bm-1}は初項1, 公比2の等比数列となり
bn-1=1・2"-1
すなわち
bn=2n-1+1
よって, n≧2 のとき
n-1
an=a1+2 (21+1)=3+-
2-1
2"-1-1+(n-1)
k=1
=2"-1+n+1
ナ行
α=3 であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。
したがって an=2n-1+n+1
[別解
an+1=2an-n を変形すると
an+1_(n+2)=2{an-(n+1)}
また
α-(1+1)=3-2=1
ゆえに、数列{an- (n+1)} は, 初項1,公比2の等比数列
となり
an-(n+1)=1.2"-1
したがって a=2"-1+n+1
inf. 6m=2"-+1 を求め
た後は
lan+1=2an-n
lan+1-a=201+1
から an+1 を消去して
|an=2"-1+n+1
と求めてもよい。
n=1 とすると
2°+1+1=3
①
この変形については右
ページのズームUPを
参照。
Joh
すると
