基本 例題 46
有理数と無理数の関係
(1) a, b は有理数とする。 a+b√2=0 のとき, √2 が無理数であることを
用いて, a=b= 0 であることを証明せよ。
(2)(1+√2)x+(-2+3√2)y=10 を満たす有理数 x, yの値を求めよ。
CHART &
HINKING
MOITUJO 2
基本44
(1) 直接証明するのは難しいから, 背理法を利用しよう。 結論の否定は 「α≠0 または
b≠0」であるが,この仮定からスタートする必要はない。a+b2=0 という式に注目し
最初の仮定を見極めよう。
(2)√2について整理して, (1) の結果を利用する。 このとき, 前提条件
「x,yは有理数√2 は無理数」 を書くことを忘れないよう注意。
解答
(1)6=0 と仮定すると
√2=-1
b
a,bは有理数であるから,右辺のは有理数である。
左辺の√2 は無理数であるから,これは矛盾している。
よって b=0 a+b√2=0に6=0 を代入してa=0
したがって a=b=0
(2) 与式を変形して
(x-2y-10)+(x+3y)√2 = 0
x,yは有理数であるから, x-2y-10, x+3y は有理数で
あり√2 は無理数である。
理由である
a+b√2 0 から
b2=
両辺を6(≠0) で割ると
2=-1
a
このことから、最初の仮
定は 60 だけでよい。
2について整理。
この断りは重要。
詳しくは右ページ参照。
ゆえに、(1)の結果から
これを解いて
x-2y-10=0, x+3y=0
x=6,y=-2
POINT
有理数と無理数
a,b,c,d を有理数, √T を無理数とすると
① a+b√7=0
② a+b√T=c+d√T
のとき a=b=0
のとき a=c, b=d
MOITAMЯO
ここで,「a, b,c,d は有理数」という条件に注意しよう。 この条件がないと,
例えば① では a=b=0以外に a=√T(無理数) b=-1 もa+b√T =0
を満たしてしまう。
PRACTICE 46Ⓡ 3
√3 は無理数である。
7+a√3
2+√3
24 BUITAR 9
-=6+9√3 を満たす有理数 α, b の値を求めよ。
