（2）でなぜx>0なのですか

94 うちで,点(e, 2) を通るものを求めよ。 基本 例題 119 導関数から関数の決定 (1) f'(x)=xe*, f(1) = 2 を満たす関数f(x) を求めよ。 (2) f(x)はx>0 で定義された微分可能な関数とする。 曲線 y=f(x) 上の点(x, y) における接線の傾きがで表される曲線の DOOOO 1 x p.180 基本事項 1 CHART & SOLUTION 導関数から関数の決定 積分は微分の逆演算 積分 F'(x)=f(x) 微分 (1) f(x)=√xe* dx Sf(x)dx=F(x)+C なお,右辺の積分定数Cは,f(1)=2 (これを初期条件という) で決まる。 (2)(接線の傾き)=(微分係数) よって 点(e, 2)を通るf(e) =2 (初期条件) f(x)=1/2 -> 積分定数Cが決まる。 解答 (1)_f(x)=√xe*dx={x(e*)'dx=xe*(x)'e*dx =xex-fe*dx=(x-1)e*+C (Cは積分定数) f(1) 2 であるから C=2 ゆえに f(x)=(x-1)ex+2 (2) 曲線 y=f(x)上の点(x, y) における接線の傾きは f(x)であるから f(x)=1/2(x>0) よって f(x)=2x=logx+C(Cは積分定数) x f(x)== この曲線が点 (e, 2)を通るから 2=loge+C ゆえに C=1 したがって, 求める曲線の方程式は y=logx+1 部分積分法 Se⭑dx=e'+C x>0 であるから |x|=x f(e)=2, loge=1 PRACTICE 119 (1)x>0 で定義された関数 f(x) はf'(x)=ax- (αは定数),f(1)=a, f(e x を満たすとする。 f(x) を求めよ。 〔名 (2) 曲線 y=f(x)上の点(x, y) における接線の傾きが2であり,かつ,この が原点を通るとき,f(x) を求めよ。 ただし, f (x)は微分可能とする。

数学積分です。 (n-1)(In-2-In)のところまでは理解出来たのですが、そこからnIn=につながるのが理解できません。なぜこの式に変形できたのでしょうか？どなたか教えて頂きたいですm(*_ _)m

π In= = sin "rdr とおくとき,部分積分法を用いて, 2 In=n-11-2(≧3) を示せ. n 精講 入試では頻出テーマですが,「部分積分法を用いて」の部分 ないことが多いようです。 結果を覚えておく必要はありま 解答の流れは頭に入れておく必要があります. 解答 In= 2 π 2 sin"-x.sinxdx="sin"-¹x-(-cos x)' dx =|-sin" π 2 -[-sin-rcos.r] + (n-1) sin*~*r(sin.r) cos.rdr π S55 COS ]² √² 0 =(n-1)f sin"-2xcos'rdr π 2 =(n-1) f sin"-2x(1-sin'z) dr =(n-1) (In-2-In) ∴.nIn=(n-1) In-2 →合成関数の微分:62 -In (a-y よって,In=n-1 -Inn+I よって, In=n-1I-2 (n≧3) n

?の部分でなぜsin^2になるのですか、？

x>1におい よって、 1<a<c<bのとき f'(a)<fle ゆえに -=f'(c)(b-a) log b log a [I 31-e³ すな "dz=n 薬 23定積分 Example 23 ***** 自然数nに対し, In = cosxdx とするとき, 次の問いに答えよ。 (1)とそれぞれ求めよ。 (2) 自然数nに対し, In+2 を In で表せ。 (3) Ig で表せ。 [21 岩手大] ★★★★★ 119 次の定積 (1) S sin' (3) Soext- (5)Sill0g ME (1) = "" cosxdx-sinx=1 (1+cos2x)dx 1- cos'x dx=(1+cos =1/2x+1/12/sin2x=4 (2) In+2=2COS+2xdx=2(sinx)' cos”+1xdx [★★★★☆] 120α, B は となるの 121 (1) m (2)不定 (3) n Key 部分積分法によ ★★☆★☆★ =sinxcos**x] +(n+1) sin®x cosxdx り, In+2 を計算すると In, In+2 が現れる。 I =(n+1)(1-cos x) cos"x dx =(n+1)(In-In+2) よって したがって (n+2)In+2=(n+1)In In+2=n+1In (3)(2)の結果を用いると n+21 75 18=- = 86 256 よって π= 35 Key (2) の結果を繰り が成 (4)定 35 返し用いる。 -π 753 7.53 12= 864 8 6 4 4 256 Practice 23 ★★★☆☆ n=0, 1, 2, ...... に対し, In=Sxelaxdx とする。 (1)の値を求めよ。 (2)n≧1 のとき, In と In-1 の間に成り立つ関係式を求めよ。 (3) I3 の値を求めよ。 (4) JEB) *(sinxco (4)定積分 (sinxcosx) e3sinxdxの値を求めよ。 48 ++ VI ★☆★☆★ 122 ★★★☆☆ S 123 f (1) [類 19 摂南大〕

最後の一行の蛍光ペンのところの文ってどうして必要なのですか？

重要 例題166 定積分と和の極限 (3) ・対数の利用 00000 [防衛医大 基本144) 限値 lim 1 (4n)! nn V (3n)! を求めよ。 指針 まず, 1/(4n)! を簡単にすることを考える。 α 1 (An)! nV (3n)! nV (3n)! とすると 3n (371)...･･2･1 an- 1 An(An-1).(3n+2)(3n+1)+3n(3n-1)........2.1 n =1/12 ((3n+1)(3n+2) (3n+n-1)(3n+n)) n An=3n+nと考える。 更に、両辺の対数をとると, 積の形を 和の形で表すことができるから, lim (7)=S,f(x)dx を利用して,極限値を求める。 n→∞ ni なお, 関数10gxはx>0で連続であるから よって, liman=α が存在するなら 811 例題 重要 例 16 長さ2の線分A 等分する。 (1) AAPBO よ。 (2) 極限値 α = る。 指針 lim(logx) = loga log と lim xα lim (logan)=log (liman 交換可能 818 (1) 線分 よっ (2)求 SSC an= 解答 n (4n)! とすると √ (3n)! 1 (3n+1) (3n+2) (3n+n)} n(3+)(3+)(3+) (1) 線ケ 解答 よっ ゆえ an= = n //{(3+/-) (3+)(3+7) 1.(d(3+1/2)(3+/-)(3+n)} =(3+/-)(+) (+) よって, 両辺の自然対数をとると ◄ (n")=n 110g(3+1/2)+10g(3+/2/2)+10g(3+1/72)}=171210g(3+4) -log(3+ lim(logan)=log(3+x)dx=(3+x)'10g(3+x)dx logan=- n ゆえに 11-00 = 1 (3+x)log(3+x )]-f(3+x)3+x 44 =4log4-3log3-1=10gge =log- 関数10gxはx>0で連続であるから した (2)c -dx 部分積分法。 256 27e 256 liman= lim (loga.) = log(lima. 8+U 27e 練習曲 ③ 167 練習 数列 an = ④ 166 n² 7/4 P2n (n=1,2,3, ･･････) の極限値 lima” を求めよ。 12-00 [ 東京理科大)

この計算のやり方教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

2 So" (2x-1)** dx

この積分をする時って部分積分法の公式を使ってときますか？答えが3枚目のようになるんですがいまいち解き方がわかりません、教えてください

[(x³ + 1)². 3x² dx (x³ + 1)² 620 - 2(x²+ 1).x²³ dz (x(x²³² + 1)² -

数3積分の問題です。a nを求める時にa1と同じように求めるやり方でときたいのですが、計算式が分からないので教えて頂いきたいです。

練習 曲線 y=ers と y=exicosx で囲まれた図形のうち、(n-1)≦x≦nを満たす部分の面積を 5 250 an とする (n=1, 2,3, ......)。 (1) a1, an の値を求めよ。 (2) lim(a1+a2+・・・・・・ +αn) を求めよ。 [類 早稲田大〕 (1) HINT |cos x|≦1であるから e-*≧e-x|cosx | 上側にある。 Sex cos cosxdx=−e*cosx—Se*sinxdx =-e 12 00 = COS x よって, 曲線 y=e-x は曲線 y=e-x|cosx | の --ex sinx + fe*cosxdx) =-e-*cosx+e-*sinx-fe-*cosxdx 積分定数を考えて fe*cosxdx=1/21ex (sinx-cosx)+C 15/01 0≦|cosx|≦1, ex>0であるから ex=e*\cosx nie+ ↑① 上下関係を ←部分積分法。 530 ←同形出現。 1 この不定積分はαを 求めるときに必要になる ies+1) (3 調べる

積分の問題なのですが（1）で範囲分けをする時にどっちがg(x)>0なのかわからなくなってしまいます。考え方を教えて頂きたいです。

X3 RAD EX Ⓒ210 eos a>0 に対し, f(a)=lim Slax+xlogxdx とおくとき、次の問いに答えよ。 必要ならば、 limt"logt=0(n=1, 2, ......) を用いてよい。 (11) f(α) を求めよ。 aが正の実数全体を動くとき, f(a) の最小値とそのときのαの値を求めよ。 (1) g(x)=ax+xlogx 3 よって 0<xÉe-@D} = g(x)=0 x≧ea のとき g(x)=0 また、a>0のとき,0<e- <1である。 t→+0のときを考えるからtを十分小さくとると S₁\g(x)\dx=S¢{-g(x)}dx+S₂_9(x)dx == Sg(x)dx=(ax+xlogx)dx g(x)=x(logx+a) ⑩ しんすう dx a -logx- -2x²+² 108x-S².1 x |---T = = t→+0 1 じょうけん より 1x²(a+logx)——x²+C 4 -x²(2logx+2a-1)+C (CK) よって, G(x)=112x2(210gx+2a-1) とすると -a S₁lg(x) dx = [-G(x)] + [G(x)] =G(t)+G(1)−2G(e¯a) 0-1 mil Mita t→+0 ここで, lim t210gt=0であるから したがって ƒ(a)=lim {G(t)+G(1)—2G(e¯ª)}=G(1)-2G(e-ª) lim G(t)=0 t→+0 1 - (20-1)-2-e-(-1)= 0 ² ² + ² ² - 1 = -2a a 4 4 2 2 [埼玉大〕 logx+a=0232 log x=-a よってx=e-a S (s) ←部分積分法。 |xlogxdx=f( r logxd ←G(t)=1/²1 N'S ←=-G(e¯a)+G(t) (E+G(1)-G(e¯ª) - t²logt +1/t³²(2a−1) ←ƒ(a) = Slax+xlogx|dx (N)

この積分の意味が分かりません。部分積分法ですよね？2番目の式から3番目の式にいくまでのは具体的な過程が知りたいです。

2 S=S'2x√/1−x³dx=—S}(1-x²Y√/1 − x² dx = −[ {}(1-x²9)³] ¹ = {} [号は一才] 3

(先程と似たような質問になりますが)部分積分の公式についてですが、青丸部分の中に積分定数が含まれているから、赤丸部分の積分定数は省かれているのでしょうか？

部分積分法 4 f(x)g'(x) dx = f(x) g(x) f'(x) g(x) dx