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例題 2234次関数のグラフの接線
思考プロセス
例題
221
f(x) = x-4x-8x°とする。
****
(1) 関数 f(x) の極大値と極小値,およびそのときのxの値を求めよ。
(2) 曲線y=f(x) に異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
(北海道大)
ReAction 接線の方程式は、接点が分からなければ (t, f(t)) とおけ 例題 218
(2) 段階に分ける 曲線 y=f(x)
異なる
x=t における y=f(x) の接線が
x=t 以外の点で再びy=f(x)に接する。
の方程式とy=f(x) を連立すると
(x-t) (xの2次式)=0
x=t 以外の重解
ARES 0-(-x=t
(1) f'(x) =4.x-12x²-16x=4x(x+1)(x-4)
f'(x) = 0 とすると x = -1,0,4
よって,f(x)の増減表は次のようになる。ゴ
y=f(x)
再び接する
x
-1
0
...
4
|f'(x)
共
0
+0
0 +
YA
y=f(x)|
f(x)
-30V
-128
7
-10
4
したがって
x=0のとき極大値 0
N
x=1のとき極小値 3
-3
x=4のとき極小値-128
-128
(2) 曲線y=f(x) 上の点(t,t-4-8t2) における接線
の方程式は,f'(t) = 4t-12-16t
g
y-(4-4t3-8t2) = (4t³ - 12t² - 16t)(x-t)
y= (4t-12-16t)x-3t+8 + 8t?
① と y=f(x) を連立すると
.. 1
x-4x³-8x2 = (4t3-12t2 - 16t)x-3+4 +8t3 +8t²
(x_t)^{x2+ (2t-4)x+3t2-8t-8} = 0
①が曲線 y=f(x) と x = t 以外の点で接するのは
x2+(2t-4)x +362-8t-8=0... ②がx=t 以外の
この接線は1つの接線に
対して、2つの接点が
応している。 このような
接線を複接線という。
例題 218 Point 参照。
x = tで接するから,
xt) を因数にもつ。
重解をもつときであるから, ② の判別式をDとする方式
D
4
D=0
141=(t-2)2-(3t-8t-8)= -2t + 4t + 12
よって, 2-2-60 より
このとき②重解は
t=1±√7
=24-4-t+2=1√7(複号同順)
2
398
これは, tと異なる。
はない
