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重要 例題 35 数字の順列 (数の大小関係が条件)
α, α5) の個数を求めよ。
(2) 0≤a₁ ≤a₂≤a3 ≤a₁ ≤as≤3
次の条件を満たす整数の組(a1,a2,a3,
(1) 0<a₁<a₂<a<a₁<as<9
(3) aitaztastastas≦3, a;≧0(i=1,2,3,4,5)
指針 (1) ar, a2, ......, as はすべて異なるから, 1, 2, , 8の8個の数字から異なる
を選び, 小さい順に α1, Q2, ......, α5 を対応させればよい。
求める個数は組合せ Cs に一致する。
(2) (1) とは違って, 条件の式にを含むから, 0, 1, 2,3の4個の数字から重複を許し
て5個を選び, 小さい順に a1,a2,
・・・..., as を対応させればよい。
求める個数は重複組合せ H5 に一致する。
(3) おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。
(a+az+ax+a+αs) = b とおくとa+a2+ax+a+as+b=3
また, a+a+astastas≦3 から
b≥0
よって、 基本例題 34 (1) と同様にして求められる。
解答
(1) 1,2,
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順に a1,a2,
8の8個の数字から異なる5個を選び, 小さい
・・・・・・, as とすると, 条件を満たす組が1つ決ま
る。
よって, 求める組の個数は 8C5=8C3=56 (1)
(20,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び,小
さい順に a1,a2, ・･････, as とすると, 条件を満たす組が1つ
決まる。
基本333
よって、求める組の個数は 4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個)
(3) 3-(a1+a2+a3+a+as)=6とおくと
a1+a2+ax+a+α5+6=3,
①
ai≧0 (i=1,2,3,4,5),6≧0
よって, 求める組の個数は, ① を満たす 0 以上の整数の組の
個数に等しい。これは異なる6個のものから3個取る重複組
合せの総数に等しく 6H3=6+3-1C3=gC3=56 (個)
別解a+a2+ax+a+as=k(k=0,123) を満たす 0 以
上の整数の組(a, a2, a3, 4, as) の数は 5Hk であるから
sHo+sHi+sHz+sH3=&Co+5C1+6C2+ C3
=1+5+15+35=56 (個)
← 等式
検討 (2)(3)次
うにして解くこともできる。
(2) [p.348 検討の方法の利
用] b;=a;+i(i=1,2,1
4,5)とすると,条件は
0<b₁<b₂<b3<b4<bs<9
と同値になる。よって、
(1) の結果から 56個
(3)3個の○と5個の仕切り
を並べ,例えば,
|〇|〇〇|| の場合は
(0, 1,020) を表すと
考える。このとき
A|B|C|D|E|F
とすると, A,B,C,D,
Eの部分に入る○の数をそ
れぞれ a1, a2, 3, 4,0
とすれば組が1つ決まるか
ら
8C3=56 (1)
