PR 不等式 la + bls|a|+|6| を利用して、 次の不等式を証明せよ。
② 29
(1) a-bl≦|a|+|6|
(3) la+b+cls|a|+|0|+|c|
第1章 式と証明 21
(2) la-clsla-6|+|b-c|
[info] la + b/sla|+161
の証明は、基本例題 29
(1) を参照。
(1)|a+b|≦|a|+|6| のbを-6におき換えて
la-bl≦|a|+|-6|
ここで |-6|=|6|
よって
|a-b|≦|a|+|6|
(2)|a+bl≦|a|+|6| の a を a-b, b を b-c におき換えて
よって
| (a-b)+(b-c)|≦la-6|+|b-c|
la-cl≦la-b|+|b-c|
(3)|a+b|≦|a|+|6| の a を a + b, bをcにおき換えて
[(a+b)+cl≦la+6|+|c|
また, la +6≦|a|+|6| から
①② から
......
①
la+6|+|c|≦|a|+|6|+|c| ...... ②
la+b+cl≦|a|+|6|+|c|
両辺に |c|を加える
A≤B, B≤C
⇒ASC
PR
30
9
(1) 4a+≥12
a
(1) 4a>0,
a
9
9
係により
a, b, c, d は正の数とする。 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また、 等号が成り立つの
どのようなときか。
9
(2) (6+) (+) 24
->0であるから,相加平均と相乗平均の大小関
4a+22/4a-2-2-6-12
9
よって
4a+-≧12
a
9
等号が成り立つのは4a=
すなわち a=2のとき。
a
9
4a²-12a+9
9
+4a= 5 a²
a
α> 0 であるから
別解 4a+
i-12=
a
a
(2a-3)2
a
(2a-3)≥0
a>0 (2a-3)≧0 より
よって
4a+
a+21
≥12
a
a
等号が成り立つのは、2α-30 すなわち α
32
のとき。
(実数20