-
![]()
92
例題 219 共通接線
D
★★★☆
(1)2つの曲線 y=xt共通接線の方の共有において共通の
接線をもつとき,定数の値と共通な接線の方程式を求めよ。
(2)2つの放物線y=2P-3,y=x+2x+4 の共通接線の方程式を導
めよ。
未知のものを文字でおく
おく
(1)y=f(x)とy=g(x) が
共有点において共通の接線
y 座標が等しい
(共有点(接点)の
x座標を
... f(t) = g(t)
[ 接線の傾きが等しい…..' (t) =g' (t)
よって、共通接線の方程式は
y-54=27(x-3)
すなわち
(ア)(イ)より
y=27x-27
a=-5 のとき 共通接線 y=3x-3
a = 27 のとき
共通接線 = 27x-27
(3)(x-3)
(2) 放物線y=2x-3上の接点をP(s, 253) とおくと、それぞれの曲線上の接点
y=4xより、点P における接線の方程式は
y-(2s2-3)=4s(x-s)
すなわち
y=4sx-2s2-3
①
放物線y=x+2x+4 上の接点を QL, f+2+4)と
おくと, y = 2x+2 より 点Qにおける接線の方程式
とおく。
3-f(x) = f(x)x-3)
を用いる。
において
Action» 共有点における共通接線は,(1)=g(t) (1) (f)とせよ
(2) (1) との違い... 接点が共有点とは限らない。
ly=g(x)上の接点のx座標を とおく … 接線 y=(
Action” 共通接線は、 2直線の傾きと”切片が一致することを用いよ
だけでは表すことができない
は
y_(12+2t+4)=(2t+2)(x-t
)x+(
)
一致
すなわち y=(2t+2)x-P+4... ②
□ (1) f(x)=x+a, g(x) = 3x'+x とおくと
f(x)=3x, g'(x)=6x+9
共通接線をもつ共有点のx座標をとおくと
f(t)=g(t) より
t+a=3t² +91
…①
S'(t)=g' (t) より
34² = 61+9
... 2
② より
3-6-9=0
共有点のy座標は等しい。
共有点における接線の傾
きは等しい。
よってs = -1, 3
これらを ① に代入すると,
求める共通接線の方程式は
y=-4x-5,y=12x-21
y=3x²+9x
(別解〕 (4行目まで同じ)
①より
-1+a=-6
接線 ①,②が一致することから
J4s2t+2
1-2s-3= -4 ... ④
③より t=2s-1
④ に代入して整理すると
Faded 2(s+1)(s-3)= 0
2直線が一致
③
きと切片が一致 5
去する
y=x'+2x+40/
14
51 関数の応用
(t+1)(t-3)=0 より t=-1,3
(7) t=1のとき
ゆえに a=-5
このとき
(-1)=g(-1)=-6
S'(-1)=(-1)=3
よって、共通接線の方程式は
y-(-6)=3(x-(-1))
すなわち
y=3x-3
(イ)=3のとき
①より
ゆえに
このとき
27+a= 54
a=27
(3)-g(3)-54
(3)=(3)27
① と y = x + 2x+4 を連立すると
4sx-2s2-3=x'+2x+4
x2-2(2s-1)x+2s' +7 = 0 ⑤
すなわち
y=x²+a
1-6
接点の座標は(-1, -6)
接線の傾きは3
直線 ① 放物線y=x'+2x+4が接するから、⑤の
判別式をDとすると D=0
D
y=3x'+x4y
(-1)=(-1)(一
54
a
3
y=x+a
接点の座標は(364)
接線の傾きは27
4
=(-(2s-1)-1-(2s³+7)=2(s+1)(s-3)
2(s+1) (s-3)=0より
s=-1,3
これらを①に代入すると、求める共通接線の方程式は
y=-4x-5,y=12x21
放物線y=23-3 上の
2)における接
①が放物線
+2x+4に接する
ようなの値を求める。
①とy=x'+2x+4を
連立してyを消去すると
2次方程式となるから判
別式で考えることができ
る。
219 (1) 2つの曲線 y=xtx,y=-x+2x+α が,その共有点において共通
の接線をもつとき、定数aの値と共通な接線の方程式を求めよ。
接線の方程式を求めよ。
