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基本 例題 30 絶対値と不等式
次の不等式を証明せよ。
(1)a+b≤a+b
2 [al-10|sla+b/ (3) la+b+cl≦lal+|6|+|c||
指針 (1) 前ページの例題29 と同様に, (差の式) ≧0 は示しにくい。
JA=A' を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 そこで
A≧0, B≧のとき
ズーム
UP
・基本 29 重要 31
AB⇔AZB'⇔A'-B'≧0
の方針で進める。 また, 絶対値の性質 (次ページの①~⑦) を利用して証明して
よい。
(2)(3)(1) と似た形である。 そこで, (1) の結果を利用することを考えるとよい。
CHART 似た問題 1 結果を利用
② 方法をまねる
(1)(|a|+|6|-|a+b=a2+2|a||6|+62-(a+2ab+62) | |A|=A2
=2(lab|-ab)≧0
|||46|=|a||6|
解答
よって
a+b≦(|a|+|6|)2
la+6|≧0, |a|+|6|≧0 から
la+6|≦|a|+|6|
この確認を忘れずに。
この不等式の辺々を加えて
-(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6|
したがって la+6|≦|a|+|6|
別解] 一般に,-|a|≦a≦|a|,-|6|≦6≦|6| が成り立つ。 AA, A|-A
0
から-|A|≦A≦|A|
-B≦A≦B
⇔[A]≦B
(2)(1)の不等式でαの代わりに a+b, 6 の代わりに -b
ズーム UP 参照。
とおくと
|(a+b)+(-6)|≦|a+b|+|-6|
よって|a|≦|a+b|+|6| ゆえに |a|-|6|≦|a+6|
別解 [1] |a|-|6|<0 のとき
la+6|≧0であるから,|a|-|6|<|a+6|は成り立つ。」
[2]|a|-|6|≧0 のとき
------
|a+bf-(|a|-|6|)²=a²+2ab+b2-(a-2|a||6|+62)
=2(ab+lab|)≧0
よって (|a|-|6|)≦|a+b
|a|-6|20,la+b20であるから|a|-|6|≦|a+6|1
[1], [2] から
|a|-|6|≦|a+6|
3(1)の不等式でもの代わりに6+c とおくと
|a+(b+c)|≦|a|+|b+c|
T
|a|-|6|<0≦la+b
[2] の場合は,(2)の左
辺, 右辺は0以上であ
るから,
(右辺)(左辺)2≧0
を示す方針が使える。
≦|a|+|6|+|c|
よって
|a+b+cl≦|a|+|6|+|c|
③30_(2) 不等式|a+6|≧|a|+|6| を利用
練習 (1) 不等式√2+62+1√x2+y2+1≧lax+by+]|
(ア)
を
(1)の結果を利用。
(1) の結果を再度利用
(b+club|+|cl)
