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入試演習 数列
添削問題 解答解説
1
問題
(1) x2 +px+q=0の2解をα, β とするとき. an, bn をそれぞれα, βで表せ。
りをax+bn(a,b は実数)とおくとき,次の各問いに答えよ。
p, g, n を正の整数とする。 rn (n = 1, 2, ...) をx2+px+q (p2-4q≠0)で割った
(2) 2以上のすべての整数nについて b, はg で割り切れる整数であることを示せ。
着眼点
整式の割算 整数の問題で,数列に関するアプローチを用いて解くタイプである。
(1) xmをx2+px+q で割った余りがan²x+bnなので,Q(x) を整式として
x² = (x² + px +q)Q(x) + Anx + b₂n
とおける。この等式を用いて, an, bn, α, βの関係式を導けばよい。
解答
(2) {bn}の一般項の表示からは, bn が整数であることすらわからない。 そこで, 自然数nについ
ての証明問題であることより, 数学的帰納法を用いる。このとき
仮定を用いて次のnの値で成り立つことを示す
という数学的帰納法の構造より, {bn}の漸化式を導くとうまくいく。
漸化式は {bn}の一般項より3項間漸化式になることが予想できるから,まず
an+1 - βn+1 を on - β", an-1-βn-1 で表す
ことが目標となる。
(1) xn
x2+px+q=(x-a)(x-β)
で割った余りが anx + by なので,Q(x) を整式として
x=(x-α)(x-β)Q(x) +an²+bn
とおける。 上式にx=α, x = βを代入すると
an=ana+bn
βn=anβ+bn
となる。 2-4g≠0よりx≠Bであるから,
(a – B)an = an – n
an - Bn
an=
α-β
また①より
bn=an-a.
... bn=
==
(2) an+1 - βn+1 は
(n = 1, 2, ...)
と変形できるから
an-βn
a-β
aß(an-1-n-1)
a-β
- ② より
(n=1,2,...)
an+1 – Bn+1 = (a+B)(an – Bn) +aßn – an B
YMESJI-Z1014
ONKO
(a+β)(a^-β") - aβ(an-1-β"- 1 )
<x²+px+q=0 の2解は
βなので
x² + px+q
=(x-a)(x-β)
したか
x²+px+q=0の判別式を
D とすると
D=p²-4q
であるから D≠0 より
aß
と
と
an+1n+1 から di-pl
くり出す。
