二つの不等式です。実は本当に調べてみましたが、やはりうまく解けないみたいです。 よろしくお願いいたします。

問 2. Key Words: Jensen の不等式 凸関数p:[a,b → R (a < b) と Riemann 可積分な関数 f:(c, d] → R を考える。ここで [a,6 c| inf_f(), sup f(z)| とする。この時,以下の不等式が成立する事を示せ: re(c.d ze(c.d (f(z))dz 2p f(z)dr 問3. Key Words: Hardy の不等式 関数f:0, +)→R は非負で,/(f(z))"da < + (p> 1) とする. (広義 Riemann 積分の 意味でも, Lebesgue 積分の意味でも良い。)この時,次の不等式が成立する事を示せ: 『G o)s()L nora P ( )Pa dr < 但,積分の順序交換は自由にして良い。 ヒント:f(x) = g(r'-)r-$ を考えると良い。

大学数学、複素関数論、ガンマ関数、無限積に関する質問です。 画像の◯の式2つはどう計算したら出てくるのか、命題5.14と比較するととありますがどのように比較しているのかを教えていただきたいです。

-115 [証明] 関数(1+z)e-? =D1-2|2+…はz%30でのテイラー展開に1次の を収束 が成り立つ、いま1+u,(z) = (1+z/n)e-3m によって u (2)を定めれば, \2 命題5.14 次の無限積は全平面で絶対収束する. g(2) = i (1+ )em n=1 n 明] 関数(1+z)e^ =D1-2"/2+…はz%30でのテイラー展開に1次の O (|2|Sr) 成り立つ。 いま1+u,(2) = (1+2/m)e-/n によって u,(2) を定めれば, |2|< Rかつれ2R/r なる限り R? len(2)|S M n? ゆえにワイエルシュトラスのM-判定法が適用される。 をおesn は零点を持たないから, g(z) の零点は z=-1,-2, … Iに限る。 I さて,正の実数eに対して,ガンマ関数T(z) はオイラーの公式 1 lim ニ T(x) E > (5.13) n→0 n!n* で与えられる(本シリーズ『微分と積分1』$4.1). 右辺をさらに変形すると 1+ 2+£ n+£ lim n "c Tg_u 1 2 n→0 n n -glog ne lim e ニ k n→0 k=1 = lim e*(1+1/2+…1/n-logn)ag II (1+-)e. ニ n→0 k=1 命題5.14 と比較すると,極限 1 Y= lim (1+ 2 -log n) = 0.57721… n→0 n が存在することがわかる(これはオイラーの定数と呼ばれる). 以上から z= が正の実数のとき 1 (5.14) = e"zi(1+-)e 4/2- T(z) n=1

この問題の丸の部分には、なぜ－1が入るのでしょうか。

基本例題 10] 直線に関する対 直線 x+y=1 に関して点Qと対称な点をPとする。点Qが直独 x-2y+8=0 上を動くとき, 点Pは直線 上を動く。 156 重 基本79.% (1 (コ OLUTION CHART 線対称 直線(に関して, PとQが対称 [1] 直線 PQ がlに垂直 C >P 台 [2] 線分 PQの中点がl上にある 点Qが直線ォ-2y+8=0 上を動くときの, 直線:x+y=1 に関して点Qと対称な点Pの軌跡, と考える。 つまり, Q(s, t) に連動する点P(x, y) の軌跡 →0 s, tをx, yで表す。 2 x, yだけの関係式を導く。 (解 前 のinf. 線対称な直線を求め 解答 直線x-2y+8=0 …0 の上を動く点をQ(s, t) とし, 直線 x+y=1 に関して点Qと対称な点を P(x, y)とする。 直線 PQ が直線②に垂直で の 71(p.131)のような方法も あるが、左の解答で用いた 軌跡の考え方は,直線以外 の図形に対しても通用する。 るには,EXERCISES ………の Q(s, t) 1 -8 あるから /P(x,y) 1-y *垂直→傾きの積が -1 線分 PQの中点が直線 ②上にあるから x+s MO -線分PQの中点の座標は 2 3から のから s-t=x-y (x+s s+t=2-(x+y) S, tについて解くと また,点Qは直線①上の点であるから S=1-y, t=1-x… 5 *上の2式の辺々を加え ると 2s=2-2y 辺々を引くと -2t=2x-2 * s, tを消去する。 s-2t+8=0 … 6 6を6に代入して したがって, 求める直線の方程式は (1-y)-2(1-x)+830 2.x-y+7=0 PRarTiC

x=±π/4の場合を、なぜ②の式に当てはめるのですか？①ではだめですか？

よって 1 f(x)= 10g3 したがって 練習 2 211 エくxく要とする。f(x)=Itan*x-11, (0)=0であるとき, f(x) を求めい π <xくー 4 2 2 N -<ょく手のときと, -号くxく-午くさく号のときで場合分け HINT -くxくのときと, 4 C, Dは積分定数とする。 そ-くxくのとき -番くよく手のとき よって x)-(1-tan'x)dx f(x)=1-tan'x 4 tan' x<1 また,このとき条件 4 ェieSf(0)30を利用。 1 Jdx cos?x =2x-tanx+C f(0)=0 であるから C=0 したがって f(x)=2x-tanx の そこのとき tan'x> 一覧くよく一等景くよく号のとき <x 2 4? 4 2 の f(x)=tan?x-1 f(x)=tanx-2x+D Dgol 同様にして f(x) は-号くxくで微分可能であるから, x=± で連続 ←問題文でf(x) が与え られているから, f) は微分可能である。 2 lim f(x)= lim f(x)={-) ズー-0 であり xーチ+0 X→ lim f(x)= lim xー--0 lim (x)= lim f(x)={-) よって, ①, ② から ると メーでは-1-1-号+D ゆえに D=πー2 1-1 2 2 20000 --号では -号+1=-1+号+D 2 ゆえに D=2-π 全(税の立)× ( tanx-2c-π+2(-号<xく-) 1--(の 以上から f(x)={ 2c-tanx (一番5x) (年くれく要)1- そこのとき, {(x)は Caol tanx-2c+π-2 x=±で微分可能。 4

多様体の接空間に関する基底定理の証明です。g(q)=∫〜と定義した関数を微積分学の基本定理を用いながら変形してg(q)=g(0)+∑gᵢuⁱと導出するのですが、これがうまくいきません。 自分は、g(q)の式をまず両辺tで微分して、次に両辺uⁱで積分して、最後に両辺tで積分... 続きを読む

12. Theorem.If{ = (x', , x") is a coordinate system in M at p, then its coordinate vectors d, lp, …… 0,l, forma basis for the tangent space T,(M); and D= E(x) 。 i=1 for all ve T(M). Proof. By the preceding remarks we can work solely on the coordinate neighborhood of G. Since u(c) = Othere is no loss of generality in assuming ど(p) = 0eR". Shrinking W if necessary gives E(W) = {qe R":|q| < } for some 8. Ifg is a smooth function on E(W) then for each 1 <isndefine og (tq) dt du g(9) = for all qe {(W). It follows using the fundamental theorem of calculus that g= g(0) + E&,u' on (W). Thus if fe &(M), setting g = f。' yields f= f(P) + Ex on U. Applying d/ax' gives f(p) = (f /0x)(P). Thus applying the tangent vector e to the formula gives (f) = 0+ E(x'(p) + E Ap)u(x) = E(Px). ず ax Since this holds for all f e &(M), the tangent vectors v and Z Ux') d,l, are equal. It remains to show that the coordinate vectors are linearly independent. But if ) a, o.l, = 0, then application to x' yields dxi 0=24 (P) = 2q d」= 4. In particular the (vector space) dimension of T,(M) is the same as the dimension of M.

問題の解き方や、答えが分からないです。また、問題を解くために高校数学や大学数学のどの単元の知識が使われているのかも合わせて教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

問(i)~(vi) に答えよ。 解答は解答用紙の所定欄に日本語で記すこと。 導出過程も簡潔に記す こと。 Let the function f(n) be defined as S(n) = cos? where n and 入 are positive integers (greater than 0). (i) Assuming n>1000 and 42 < 76, determine f(n). (i) Assuming is a prime number, determine the smallest n such that 『(n) = cos? %D

答えがないので解説とともにお願いしたいです🙇🏼‍♀️

例題1 20枚のカードに1から5までの数が、 1のカードは3枚, <1=C%3D 2のカードは4枚, 3のカードは7枚, 4のカードは4枚, 52 13 る1eS- X)3-)=。 5のカードは2枚, のように記してある. ここから1枚取り出す試行を行なう.試行後は取り出したカードは 2E 元に戻すことにする。 TO 取り出したカードの数を X とする. 確率分布を求め, その平均 4, 分散 α?, 標準偏差 のを求めよ。 -10-10 -0-10

全く理解できませんでした。どなたか教えていただけませんか？

13*自然数nに対して, 1からnまでのすべての自然数の集合を Nとする。 Nから N への写像f が次の条件 「i,j が Mの要素で, isj ならば, つねに f(i)<f())」 をみたすとき,f(k)=k となるN の要素kが存在することを示せ.

全く理解できませんでした。どなたか教えていただけませんか？

13*自然数nに対して, 1からnまでのすべての自然数の集合を Nとする。 Nから N への写像f が次の条件 「i,j が Mの要素で, isj ならば, つねに f(i)<f())」 をみたすとき,f(k)=k となるN の要素kが存在することを示せ.

全く理解できませんでした。どなたか教えていただけませんか？

13*自然数nに対して, 1からnまでのすべての自然数の集合を Nとする。 Nから N への写像f が次の条件 「i,j が Mの要素で, isj ならば, つねに f(i)<f())」 をみたすとき,f(k)=k となるN の要素kが存在することを示せ.