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13 ロピタルの定理
分析でてきたら⇒ロピタル
10563
ロピタルの定理
開いて、
0-(1-5) mil
基本 例題 057 不定形 (号)の極限①
★★☆
以下の極限値を, ロピタルの定理を用いて求めよ。
mil
(1−cosx)sinx
-0
(1) lim
ex-1-x
sinhx-x
x0 x−sinx
(2) lim
(3) lim
x→0
x-0 sinx-x
指針
0
fin
mil
いずれも の不定形の極限である。
f'(x)
gix). I g'ix)
0-(x-xdnie) mil (E)
定理 ロピタルの定理
αを含む開区間I上で定義された関数f(x), g(x) が微分可能で,次の条件を満たすとする。
[1] limf(x)=limg(x)=0
x→a
x-a
[2] xキαであるI上のすべての点xでg'(x) ≠0
'(x.doia)
f'(x)
[3] 極限 lim
が存在する。
x-a
g'(x)
f(x)
このとき, 極限 lim
x-a
g(x)
x-a
も存在し lim -=lim
ig(x)
x-a g'(x)
f(x)
f'(x)
が成り立つ。
mil
x0
0<|x| <πにおいて
{(1-cos x)sinx}'
lim
lim
......
【不定形の極限が現れる場合, f" (x), g" (x), f'(x), g" (x), が存在して定理の条件を満
たすならば,ロピタルの定理は繰り返し用いてよい。
詳しくは 「数研講座シリーズ 大学教養 微分積分」 の112~119ページを参照。
解答 (1) lim{(1-cosx)sinx}=0 かつ lim(x-sinx)=0
x→0
mil=
nia-
(x−sinx)=1-cosx+0
sinx+cosx−cos x
drianil
[1] の確認。
mil
[2]の確認。
x→0
(x−sinx)
x→0
1−cosx
0800-
N
Fox)
cosx-cos 2x
=lim
①
1−cosx
x0
cos"x-sin'x=cos2x
-zag()
mil
ここで
ここでLim(cosx-cos2x)=0 かつ lim (1-cosx) = 0
[1]の確認。
x→0
x→0
もう一度 0<x<πにおいて
(1−cosx)=sinx=0
[2] の確認。
ロピタルの
選ぼう!
また lim
a
x0
(cosx-cos 2x)'
(1-cos x)'
2sin2x−sinx
=lim
x→0
sinx
[3] の確認。
=lim (4cosx-1)=3
x-0
よって,ロピタルの定理により, ①の極限値も存在して3
(1−cosx)sinx
に等しいから
lim
x-sinx
x-0
-=3
4sin2x=2sin x cosx
(2) lim (ex-1-x)=0 かつ limx2=0
x→0
x-0
x=0において
(x2)'=2x=0
[1]の確認。
[2] の確認。
