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重要 例題 131 導関数から関数決定 (2)
00000
| 微分可能な関数 f(x) f'(x)=lex-1 を満たし, f (1) =eであるとき,f(x)を
求めよ。
基本130
|指針 条件f'(x)=ex-1から,f(x) = flex-1/dx とすることは
YA
できない。まず 絶対値 場合に分けるから
x>0のとき f'(x)=ex-1
x<0 のとき f'(x)=-(ex-1)=-ex+1
x0 のときは,A と条件f(1) =eから f(x) が決まる。
しかし, x<0のときは, 条件f(1) =eが利用できない。
そこで, 関数 f(x) はx=0で微分可能x=0 で連続
(p.106 基本事項 1② に着目。
|
limf(x) = limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。
x+0
-0
+
0
10
y=ex-1
2
3
x>0のとき, ex-1>0であるから
解答 よって
f'(x)=ex-1
導関数f'(x) はその定義
f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (Cは積分定数)
から,xを含む開区間で
扱う。 したがって,x>0,
f (1) =e であるから e=e-1+C
したがって f(x)=ex-x+1
x<0 のとき, ex-1 < 0 であるから
ゆえにC=1
①
x<0の区間で場合分け
して考える。
f'(x)=-e+1
よってf(x)=f(-e*+1)dx
=-ex+x+D (Dは積分定数)
......
②
f(x) はx=0で微分可能であるから, x=0で連続である。f(x)は微分可能な関数。
ゆえに limf(x) = limf(x)=f(0)
x+0
①から
②から
よって
x-0
limf(x) = lim(ex-x+1)=2
x+0
x+0
limf(x) = lim(-ex+x+D)=-1+D
011X
x-0
2=-1+D=f(0
ゆえに D=3
したがって
f(x)=-ex+x+3
必要条件。
このとき, lim
ex-11から
逆の確認。 p.121 も参照。
x→0 x
lim
f(h)-f(0)
eh-h-1
= lim
=0,
ん→+0
h
ん→+0
h
lim (1-1)
lim
h→-0
f(h)-f(0)
h
0114
-e+h+1
h
よって, f'(0) が存在し, f(x) はx=0で微分可能である。
=lim
=0
ん+0
h
limf(e^-1)+1}
h--0
h
以上から
'(x) = { e
e-x+1 (x≧0)
OET
-ex+x+3 (x < 0)
練習
④ 131
x>0 とする。微分可能な関数f(x)がf(x)=1/12
を満たし,f(2)=-log2で
あるとき, f(x) を求めよ。
