Question

:e

数3 積分 4step 245
どうしてこういう問題の時ってbも必要なんでしょう？計算してみて必要なのはわかったんですけれど どうしてここを分けるのか気になりました
そういうものなんでしょうか？

*245 (1) 次の等式が成り立つように、定数a, b, c の値を定めよ。
3x+2
x(x+1)2
b
a +
C
+
x
x+1
(x+1)2
(2)不定積分(11) 2
3x+2
x (x+1) dx を求めよ。
N
25
24

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ととろ

bを無しということは b=0 で、それだとa=0となってしまい、求められないからです

:e

回答ありがとうございます！a=0っていうのがよくわからなかったので詳しく教えていただきたいです

ととろ

右辺のbを無しにしてみて、通分すると分子にax²が出てくるけれど、左辺にはx²はないからa=0
ということです

ととろ

分母に2乗がある部分分数分解は1乗の項と2乗の項が必要、

同様に分母に3乗のある部分分数分解は1乗の項と2乗の項と3乗の項が必要、ということです

:e

納得できました！1番早かったのでBAにさせていただきました、ありがとうございました！

Answer 2

きらうる

良い疑問ですね。例えばこの部分分数分解を

(3x+2)/x(x+1)²＝(a/x)+b/(x+1)²
と置いたとしましょう。

右辺を通分すると、
分子…a(x+1)²+bx
　　＝ax²+(2a+b)x+a
恒等式から、
a＝0、2a+b＝3、a=2
となり、aが違う値が出てきてしまうので、おかしいことになります。
なので、b/(x+1)　が必要になってきます。

余談ですが、b/(x+1)　がなくても成り立つように変形することもできます。
それは、c/(x+1)²　の部分を、
(bx+c)/(x+1)²　と置くことです。
(x+1)²の分子は、少なくとも1次式以下になりますので、本来はこのように置く必要があります。
では、この場合の部分分数分解をしてみましょう。

(3x+2)/x(x+1)²＝(a/x)+(bx+c)/(x+1)²
と置きます。

右辺を通分して、
分子…a(x+1)²+(bx+c)x
　＝(a+b)x²+(2a+c)x+a
恒等式から、
a+b＝0、2a+c＝3、a=2
から、a＝2、b＝-2、c＝-1
よって、2/x　+　(-2x-1)/(x+1)²　とできます。

ただ、(-2x-1)/(x+1)²の部分は、
(-2x-2+1)/(x+1)²
＝(-2x-2)/(x+1)²　+1/(x+1)²
＝-2(x+1)/(x+1)²　+1/(x+1)²
＝-2/(x+1)　+1/(x+1)²
と分解できますので、結局
b/(x+1)　の部分も出てきてしまうんですね。

:e

詳しくありがとうございます！なるほどこれは全部部分分数分解した結果でこうなってたんですね、、、めっちゃ納得できました 丁寧にありがとうございました！