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基本例題 113 不等式の証明
x0 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。
△ (1) log(1+x)<-
1+x
2
指針 不等式 f(x)>g(x) の証明は
(2)x2+2x2x+1
000
/p.195 基本事項 重要 115 117, 演習 122
大小比較は差を作るに従い,
F(x)=f(x)-g(x) として, F(x)の増減を調べ,次の① ②どちらかの方法で
F(x)>0を示す。
① F(x)の最小値を求め, 最小値>0 となることを示す。
これが基本。
② F(x)が単調増加 [F'(x)>0] でF(a)≧0⇒x>αのとき F(x)>0 とする。
(1) では ①(2) では ② の方法による。なお,F'(x)の符号がわかりにくいときは、更
F" (x) を利用する。
基本
(1)不等
(2)0 でな
(1+
x
n
指針 (1)
(2)
C
1+x
(1) F(x)=
--log (1+x) とすると
2
解答
1
1
x-1
F'(x)=-
2 1+x
2(1+x)
大小比較は
差を作る
(1)
_1+x
F'(x) =0 とすると x=1
|y=log(1+x) とy=
解答
f
[6]
2
f
x0におけるF(x)の
増減表は右のようにな
る。 e>2であるから
x
0
1
F'(x)
0
のグラフの位置関係は,下
の図のようになっている。
y₁
る
J
1+x
loge-log2>0
F(x)
|1|2|
極小
y=
[0> (
2
1-log2
すなわち
2
各道
y=log(1+x)
1-log2>0
0 |1
(2)
ゆえに,x>0の
(F(x)≧F(1)>0
よって, x>0の
log(1+x)<-
1+x
29
2
F'(x)=2x-2e-x+2e-2x
x>0のとき, 0<ex<1であるから
(2) F(x)=x2+2ex(e-2x+1) とすると
F"(x)=2+2ex-4e-2x=2(1-e-x) (1+2e-x)
F" (x)>0
ゆえに,F'(x) は x≧0で単調に増加する。
(*) このままでは,
......
(*)
F(x)>0示しにくい
から,F" (x) を利用する。
(別解(2)
このことと,F(0)=0から,x>0のとき F(x)>0
したがって, x>0のとき
このことと,F'(0) =0から, x>0 のとき F'(x)>0
よって, F(x)はx≧0で単調に増加する。
x>0のとき,
x+ (1-ex) 0 であるか
ら,x>0で
x1+e0 を示す。
2+2x-x+1 | [方法は (1) の解答と同様。]
練習 次の不等式が成り立つことを証明せよ。
② 113
(1)√1+x<1+1/(x>0)
2
(3) ex>x² (x>0)
(2) ex<1+x+1/x2(0<x<1)
練習 (1)
③ 114
(2)
F(x)=x2-1-e-x)2
=(x+1-e-x)(x-1+e^x)
(4) sinx>x-x³ (x>0)
