Question

Keisuke Honda

（2)でx≧0で単調に増加する　とありますが、x>0単調に増加する。としても良いですか？

96
基本例題 113 不等式の証明
x0 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。
△ (1) log(1+x)<-
1+x
2
指針 不等式 f(x)>g(x) の証明は
(2)x2+2x2x+1
000
/p.195 基本事項 重要 115 117, 演習 122
大小比較は差を作るに従い,
F(x)=f(x)-g(x) として, F(x)の増減を調べ,次の① ②どちらかの方法で
F(x)>0を示す。
① F(x)の最小値を求め, 最小値>0 となることを示す。
これが基本。
② F(x)が単調増加 [F'(x)>0] でF(a)≧0⇒x>αのとき F(x)>0 とする。
(1) では ①(2) では ② の方法による。なお,F'(x)の符号がわかりにくいときは、更
F" (x) を利用する。
基本
(1)不等
(2)0 でな
(1+
x
n
指針 (1)
(2)
C
1+x
(1) F(x)=
--log (1+x) とすると
2
解答
1
1
x-1
F'(x)=-
2 1+x
2(1+x)
大小比較は
差を作る
(1)
_1+x
F'(x) =0 とすると x=1
|y=log(1+x) とy=
解答
f
[6]
2
f
x0におけるF(x)の
増減表は右のようにな
る。 e>2であるから
x
0
1
F'(x)
0
のグラフの位置関係は,下
の図のようになっている。
y₁
る
J
1+x
loge-log2>0
F(x)
|1|2|
極小
y=
[0> (
2
1-log2
すなわち
2
各道
y=log(1+x)
1-log2>0
0 |1
(2)
ゆえに,x>0の
(F(x)≧F(1)>0
よって, x>0の
log(1+x)<-
1+x
29
2
F'(x)=2x-2e-x+2e-2x
x>0のとき, 0<ex<1であるから
(2) F(x)=x2+2ex(e-2x+1) とすると
F"(x)=2+2ex-4e-2x=2(1-e-x) (1+2e-x)
F" (x)>0
ゆえに,F'(x) は x≧0で単調に増加する。
(*) このままでは,
......
(*)
F(x)>0示しにくい
から,F" (x) を利用する。
(別解(2)
このことと,F(0)=0から,x>0のとき F(x)>0
したがって, x>0のとき
このことと,F'(0) =0から, x>0 のとき F'(x)>0
よって, F(x)はx≧0で単調に増加する。
x>0のとき,
x+ (1-ex) 0 であるか
ら,x>0で
x1+e0 を示す。
2+2x-x+1 | [方法は (1) の解答と同様。]
練習 次の不等式が成り立つことを証明せよ。
② 113
(1)√1+x<1+1/(x>0)
2
(3) ex>x² (x>0)
(2) ex<1+x+1/x2(0<x<1)
練習 (1)
③ 114
(2)
F(x)=x2-1-e-x)2
=(x+1-e-x)(x-1+e^x)
(4) sinx>x-x³ (x>0)

数学ⅲ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

ダメです。理由を以下に述べました。
質問等ありましたらどうぞ。

Keisuke Honda

回答ありがとうございます。質問しようとしてベストアンサーにしてしまいました。

X≧0で単調に増加する。としなければ、
F’(0)の方がf’(1)より大きい値になることがあり、そうなると、本問で示したx>0のときf’(x)>0が必ず成り立つとは言えないからですか？

フラッグ

そうじゃないですよ。以下の画像を注意深く読み、
さっきの写真と見比べてみて下さい。
今回のべる事柄は、高校生には分かりにくいところなので、
難しいところは遠慮なく訊いてください。

Keisuke Honda

わざわざ丁寧にありがとうございます。画像1枚目も2枚目も、x≧0で単調に増加する。としないとX1を0とできないからダメということを示していると思うのですが、X1が0とできないことが何故ダメなのか分からないので教えて欲しいです。

フラッグ

先日と大して変わらない説明で恐縮ですが、今回の問題で私が紹介した定理は、グラフのような「直感」に頼ろうとしすぎると却って混乱しやすく、あくまで数式と論理メインで理解される内容なのです。私の浅学のため、貴方の学習が滞ってしまっているのは申し訳ないですが、以上のような事情であることをどうかご了解いただきたいです。もしまだ難しいと感じる場合、再質問していただくのも勿論いいですが、もっと気軽に「ああ、そういうもんなのかあ」といったふうにし、もっと学習が進んだ辺りで今一度振り返ると、分かるときが来るかもしれません。本当にすみませんm(_ _)m

Keisuke Honda

理解できました！長々と付き合っていただきありがとうございました！