Question

かい

81ノートの様に考えたんですけど何がだめなんですか？

No.
Date
2)60
220
15
180 FG = DE = X o< FGC BC & OLX (20
また、OF=BF=CGであるから、2DF=BC-FG
5=-x²+20x-40=0
DE
20-
x=
-101/100-40
=
10:166-215
12-20C+40=0
00062115-8
181 共通解をしとすると、2ttkt+4=ttttk.
+² + (k-1)+14-K=0 (k-1)²-419-K)=K²-2K+1-16+4K
=x+2K-15=K+5)(K-3)=0 K=3,-5
2020
136
4/15X
3/3) X
重要 例題 81
方程式の共通解
000000
2つの2次方程式 2x+kx+4=0, x+x+k=0 がただ1つの共通の実数
解をもつように、定数kの値を定め、その共通解を求めよ。
CHART & SOLUTION
方程式の共通解
共通解を x=α として方程式に代入
基本7
2つの方程式の共通解を x=α とすると, それぞれの式に x=α を代入した 22+ka+4=0.
2+α+k=0 が成り立つ。これをα, kについての連立方程式とみて解く。 「実数解」という
条件にも注意。
O
解答
共通解を x =α とすると
2a2+ka+4=0 ...... 1, a²+a+k=0
①-② ×2 から (k-2) α+4-2k=0
すなわち
(k-2)a-2(k-2)=0
よって
(k-2)(a-2)=0
k2 または α=2
x=α を代入した①と
②の連立方程式を解く。
...... ②
← α2 の項を消す。
[1] k=2 のとき
2つの方程式は、ともに x2+x+2=0 ...... ③ となる。
その判別式をDとすると D=12-4・1・2=-7
D< 0 であるから, ③は実数解をもたない。
よって, k=2 は適さない。
[2] α=2のとき
共通の実数解が存在する
ための必要条件であるか
ら、逆を調べ, 十分条件
であることを確かめる。
←ax2+bx+c=0 の判別
式は D=b2-4ac
②から
22+2+k=0
よって k=-6
S
このとき2つの方程式は
2x2-6x+4=0 ...... ①',
x²+x-6=0
②'
2(x-1)(x-2) = 0,
となり,①の解はx=1, 2 ②' の解はx=2,-3
よって、確かにただ1つの共通の実数解 x=2 をもつ。
(x-2)(x+3)=0
[1], [2] から =-6, 共通解はx=2
旅
INFORMATION
この例題の場合、連立方程式 ① ② を解くために,次数を下げる方針で2の項を消
去したが、この方針がいつも最も有効とは限らない。
下のPRACTICE 81 の場合は、 定数項を消去する方針の方が有効である。
PRACTICE 810
その理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

正しくは「2t²+kt+4=0かつt²+t+k=0」……☆ です
これを「2t²+kt+4 = t²+t+k」……☆☆ としているので間違いです

☆☆は☆の必要条件ですが、十分条件ではありません
つまり☆⇒☆☆は成り立ちますが、逆は成り立ちません

なお、☆☆は、2つの放物線が共有点をもつ、という条件です
（本来の☆は、2つの放物線それぞれとx軸の共有点に
共通なものがある、という条件です

さらに、☆☆から判別式=0とするということは、
2つの放物線が1点で接する、ということです

ついでに言うと、いきなり式を書かず、
「判別式 =」のように、式の出どころを書いてください

かい

えでも共通解であってもyの値0は同じなので共有点と一緒の様にイコールで結んでやったらダメなんですか？
共有点の位置ずらしただけなのでいけそうに思ってしまいます

和

「共有点の位置ずらしただけ」で、状況が変わってきます
式の上でも図の上でも、同じでないことは明らかかと思います

ものによりますが、（一見）少し違うものを（雑に）同じと見なす、
みたいなことをしていたら数学はできません

かい

なぜ失われるのですか？
結局＝0というもの同士で結んでるんで、Y＝0つまりx軸で交わる所の共有点を表している様に思えるんですが、、沼にハマってるかもしれませんほんとすみません

和

> 結局＝0というもの同士で結んでるんで

いいえ、結んでいません

正しい条件「2t²+kt+4=0かつt²+t+k=0」は
「2t²+kt+4が0であり、t²+t+kが0である」という条件です

あなたの「2t²+kt+4 = t²+t+k」だと、
「2t²+kt+4が0」ともいえていないし、
「t²+t+kが0」ともいえていません

2t²+kt+4 = t²+t+kを移項して
(2t²+kt+4)-(t²+t+k)=0にしたところで、
「2t²+kt+4が0」や「t²+t+kが0」ということにはなりません
「2t²+kt+4が3かつt²+t+kが3」とか、他の値でも成り立ちます

Answer 2

かき

別の方が書かれてるとおりですが、少し図で補足させていただきます。理解の参考になれば。

かい

えでも共通解であってもyの値0は同じなので共有点と一緒の様にイコールで結んでやったらダメなんですか？
共有点の位置ずらしただけなのでいけそうに思ってしまいます

かき

次のような違いがあります。

まず、2次方程式の解は、2次関数がx軸と共有点を持つときのx座標のことです。

その上で、
上の図の場合、交点(共有点)のy座標はゼロとは限りません。
つまり、上の場合は単に①②の交点のみであり、①=0, ②=0 それぞれの2次方程式の解ではないです。

下の図の場合は、交点のところのy座標はゼロです。
①②の交点であり、ここでのy座標がゼロなので、①=0, ②=0 それぞれの2次方程式の解でもあります。
つまり、①=0, ②=0 の2次方程式の共通解になります。

かい

丁寧にコメントありがとうございます😭
すごくわかりやすかったのですが今回は和さんを選ばせていただきましたありがとうございました🙇

かき

いえいえ、わかっていただけたならよかったです。