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1次不定方程式の応用問題
基本例題 124
基本 122,123
3で割ると2余り, 5で割ると 3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の
ものを求めよ。
指針> nは,x, y, zを整数として, n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4の3通りに表される。
したがって, x, y, zは次の方程式の整数解である。まず, これを解く。
3x+2=5y+3=7z+4→ 3x++2=5y+3 かつ 3x+2=7z+4
ただし、答えを求めるには, n がどのような式で表されるか, ということがポイントである
から,x, y, zをすべて求める必要はない。
解答
nはx, y, zを整数として, 次のように表される。
n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
3x-5y=1
注意 3x+2=5y+3
かつ 5y+3=7z+4
として解いてもよいが、
数が小さい方が処理しや
の
3x+2=5y+3から
x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから
3(x-2)-5(y-1)=0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)
3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-2=5kと表
される。よって
2を3x+2=7z+4に代入して
い。
x=5k+2(R は整数)
2
このとき y=3k+1
3(5k+2)+2=7z+4
|3x-7z=2から
ゆえに
72-15k=4
3③
3(x-3)-7(z-1)=0
ス=ー8, k=-4は, ③ の整数解の1つであるから
7(2+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(k+4)
7と 15 は互いに素であるから, しを整数として, ス+8=15/ と
表される。よって
これをn=7z+4に代入すると
ゆえに,1を整数として
0=
これとx=5k+2を等i
x=7l+3
て 5k+2=7l+3
2=15/-8 (1は整数)
SI+
n=7(15/-8)+4=105/-52
よって 5k-71=1
これより,k, Lが求め
るが、方程式を解く手
1つ増える。
最小となる自然数nは, 1=1を代入して
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